【推荐1】如果无穷项的数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得，”则称数列具有“性质P”．
(1)若数列是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
(2)若等差数列具有“性质P”，为首项，d为公差．求证：且；

【推荐2】已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．

【推荐1】已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围；
（3）记，是否存在互不相等的正整数，，，使，，成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的，，；如果不存在，请说明理由.

【推荐2】已知数列和的前项和分别为和，且，，，其中为常数.
（1）若，.
①求数列的通项公式；
②求数列的通项公式.
（2）若，.求证：.

【推荐3】一只蚂蚁从正方形的顶点出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过步回到点的概率为.
（1）求，；
（2）设经过步到达点的概率为，求的值；
（3）求.

【推荐1】已知函数．
(1)若恒成立，求实数的范围；
(2)证明：对任意正整数，都有不等式成立．

【推荐2】数列的前项和为，，
(1)证明数列是等比数列，求出数列的通项公式．
(2)设，求数列的前项和.
(3)数列中是否存在三项，它们可以构成等比数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知数列满足，（），数列的前n项和为，且满足（）.
（1）求数列，的通项公式；
（2） 记， 求证：
①当n≥2且时，；
②当时，.

【推荐1】对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意,都有.成立,那么,就把这样的一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,简称周期:例如:当时,是周期为1的周期数列:当时,是周期为4的周期数列.
(1)设数列满足(不同时为0),求证:数列是周期数列,并求数列前2020项和;
(2)设数列前项和为,且;
①若,试判断是否为周期数列,并说明理由;
②若,试判断是否为周期数列,并说明理由;
(3)设数列满足,数列前项和为,试问是否存在,使对任意,都有成立,若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由.

【推荐2】已知数列，，且．
（1）若的前项和为，求和的通项公式
（2）若，求证：

【推荐3】已知数列，满足；
（1）若，，，求的通项公式；
（2）若，，，求的前项和为；
（3）若，，满足恒成立，求的取值范围；