【推荐1】已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右顶点，且
(1)求双曲线的方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，设为坐标原点，求证：的面积为定值

【推荐3】已知双曲线的渐近线方程.
（1）求该双曲线的离心率；
（2）若双曲线的焦点在轴上，两条准线间的距离为2，设为双曲线左支上一点，为双曲线的右焦点，且满足，求点的坐标.

【推荐1】已知双曲线与抛物线有共同的焦点F，双曲线C与抛物线E交于A，B两点，且（O为坐标原点）．
(1)求双曲线C的离心率．
(2)过F的直线（斜率存在）与双曲线的右支交于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于P，证明：．

【推荐2】已知直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)设与直线平行的直线与双曲线交于，两点，若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程．

【推荐3】某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，选择适当的平面直角坐标系.

(1)求此双曲线的方程；
(2)定义：以（1）中求出的双曲线的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线，求双曲线的方程；
(3)对于（2）中的双曲线､的离心率分别为､，写出与满足的一个关系式，并证明.

【推荐1】已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为，,点与，构成的三角形的面积为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线（，且）与双曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，若点在直线上，试判断直线是否经过轴上的一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.

【推荐2】已知离心率为2的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）设分别为的左右顶点，为异于一点，直线与分别交轴于两点，求证：以线段为直径的圆经过两个定点.

【推荐3】已知动圆过点并且与圆：相外切，动圆圆心的轨迹为．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)过点的直线与轨迹交于两点，设直线：，设点,直线交于，求证：直线经过定点．

【推荐1】如图所示，过点作直线交双曲线于，两点，为原点，以，为一组邻边作平行四边形．

(1)试求点的轨迹方程；
(2)是否存在这样的直线，使四边形为矩形，若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

【推荐2】写出以及韦达式子

【推荐3】已知双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，实轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线的左、右支各交于一点，求该直线斜率的取值范围.