【推荐1】已知抛物线：的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、.
(1)求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)若，求线段的中点到轴的距离；
(3)设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、.求证：为常数.

【推荐2】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线准线与轴交于点.
(1)请写出满足的点的一组坐标；
(2)证明：；
(3)若将过焦点改为过点的直线与抛物线交于两点，在轴上是否存在点，使得，不需要说明理由，若存在写出点坐标.

【推荐3】已知抛物线上一点到焦点F的距离，倾斜角为α的直线经过焦点F，且与抛物线交于两点A、B．
(1)求抛物线的标准方程及准线方程；
(2)若α为锐角，作线段AB的中垂线m交x轴于点P．证明：．

【推荐1】如图，抛物线与椭圆交于第一象限内一点，为抛物线的焦点，分别为椭圆的上下焦点，已知

（1）求抛物线和椭圆的方程；
（2）是否存在经过M的直线，与抛物线和椭圆分别交于非M的两点，使得？若存在请求出直线的斜率，若不存在，请说明理由．

【推荐2】给出下列条件：①焦点在轴上；②焦点在轴上；③抛物线上纵坐标为l的点到其焦点的距离等于2；④抛物线的准线方程为．
（1）对于顶点在原点的抛物线：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线的方程是，并说明理由；
（2）经过点的动直线与抛物线交于两点，在轴上是否存在定点使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知抛物线上一点到焦点的距离为
（1）求的值.
（2）过焦点作直线交抛物线于两点，交轴于点，且,证明:为定值.

【推荐1】已知抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．
（1）证明三点共线；
（2）如果、、、四点共线，问：是否存在，使以线段为直径的圆与抛物线有异于、的交点？如果存在，求出的取值范围，并求出该交点到直线的距离；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知点M为直线上的动点，，过M作直线的垂线，交的中垂线于点P，记点P的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设过点的直线与曲线C交于A，B两点，在x轴上求一定点Q（Q异于点N且异于点，使N到直线和的距离相等．

【推荐3】已知抛物线：的焦点为，准线为，若抛物线上的点到焦点的距离与到轴的距离之差为2，过点的直线交抛物线于，两点，点为抛物线的顶点，直线，分别交准线于，两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）以为直径的圆是否过定点，若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

【推荐1】已知抛物线，是轴下方一点，为上不同两点，且的中点均在上.
(1)若的中点为，证明：轴；
(2)若在曲线上运动，求面积的最大值.

【推荐3】抛物线，其准线方程为，过准线与轴的交点作直线交抛物线于两点.
（1）若点为中点，求直线的方程；
（2）设抛物线的焦点为，当时，求的面积．