【推荐1】已知两定点，，动点使直线，的斜率的乘积为.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与曲线交于，两点，是否存在常数，使得？并说明理由.

【推荐2】已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数.
（1）求点的轨迹.
（2）若为轨迹与轴左侧的交点，直线交轨迹于两点不与重合，连接，并延长交直线于两点，且，问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点；若不是，试说明理由
（3）在（2）的条件下，若直线斜率的取值范围是，求面积的取值范围

【推荐3】已知点Q是圆M：上一动点（M为圆心），点N的坐标为，线段QN的垂直平分线交线段QM于点C，动点C的轨迹为曲线E．

(1)求曲线E的轨迹方程；
(2)求直线与曲线E的相交弦长；

【推荐1】已知椭圆的离心率为，若圆被直线截得的弦长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点为动直线与椭圆的两个交点，问：在轴上是否存在定点，使得 为定值？若存在，试求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知直线经过椭圆()左顶点和上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆上除上下顶点之外的关于原点对称的两个点，已知直线上存在一点，使得三角形为正三角形，求所在直线的方程.

【推荐3】设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足为线段的中点，且．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若过三点的圆与直线：相切，求椭圆的方程；
(3)在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

【推荐1】设为坐标原点，动点在椭圆上，过作轴的垂线，垂足为，点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）过的直线与点的轨迹交于两点，过作与垂直的直线与点的轨迹交于两点，求证：为定值.

【推荐2】已知椭圆的长轴长等于4，且过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过P作直线，与圆相切且分别交椭圆C于M、N两点．当直线MN过圆E的圆心时，求此时的直线MN的斜率及圆E的半径．

【推荐3】已知椭圆：上顶点为，右焦点为，过右顶点作直线，且与轴交于点，又在直线和椭圆上分别取点和点，满足（为坐标原点），连接.

（1）求的值，并证明直线与圆相切；
（2）判断直线与圆是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆的左焦点是抛物线的焦点，以原点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线相切．

（1）求椭圆的标准方程;
（2）过坐标原点的直线交椭圆于，两点，若在第一象限，轴，连结并延长交椭圆于点．证明：△是直角三角形．

【推荐2】设椭圆：（）的上顶点为，左焦点为.且，在直线上.

(1)求的标准方程；
(2)若直线与交于，两点，且点为中点，求直线的方程.

【推荐3】设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设，过的直线交椭圆于两点，当为中点时，求直线的方程.