【推荐1】在椭圆：中，点，分别为椭圆的左顶点和右焦点，若已知离心率，且在直线上.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，连接，分别交直线于点，，求证：以为直径的圆经过定点.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求证：轴上存在定点，使得直线与直线的斜率之和为零.

【推荐3】已知椭圆的左､右顶点分别为A，B，椭圆C的左､右焦点分别为F₁，F₂，点为椭圆C的下顶点，直线MA与MB的斜率之积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P，Q为椭圆C上位于x轴下方的两点，且，求四边形面积的最大值.

【推荐1】已知椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点，当l与x轴垂直时，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与直线交于点P，证明点P在定直线上，并求出该定直线的方程．

【推荐2】已知椭圆C：的右焦点为F，，过点F的直线l与椭圆C交于M，N两点．
(1)若直线l的斜率为3，求的值．
(2)过点M且与y轴垂直的直线交直线EN于点G，探究：点G是否在某一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．

【推荐3】已知是椭圆（）上一点，，是椭圆上的两焦点，且满足.
(I)求椭圆方程；
(Ⅱ)设是椭圆上任两点,为定值，且直线，的斜率分别为,若存在常数使，求直线的斜率.

【推荐1】已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上，且经过点，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)是经过椭圆的右焦点的一条弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记的斜率分别为，，，求的最大值．

【推荐2】已知，，分别是椭圆E的左，右焦点，，当P在E上且垂直x轴时，．
（1）求E的标准方程；
（2）A为E的左顶点，B为E的上顶点，M是E上第四象限内一点，求的面积的最大值．

【推荐3】已知椭圆的右焦点为，原点为，椭圆的动弦过焦点且不垂直于坐标轴，弦的中点为，过且垂直于线段的直线交射线于点.

（Ⅰ）证明：点在定直线上；
（Ⅱ）当最大时，求的面积.

【推荐1】已知椭圆的离心率为，以椭圆的上､下顶点和右焦点为顶点的三角形的面积为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过点的直线交椭圆于点，直线交直线于点，若与的面积相等，求直线的方程.

【推荐2】已知A（0，2），B（0，﹣2），动点P（x，y）满足PA，PB的斜率之积为．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知直线l：y＝kx+m，C的右焦点为F，直线l与C交于M，N两点，若F是△AMN的垂心，求直线l的方程．

【推荐3】已知椭圆的左焦点为F，点，过M的直线与椭圆E交于A，B两点，线段AB中点为C，设椭圆E在A，B两点处的切线相交于点P，O为坐标原点．

（1）证明：O、C、P三点共线；
（2）已知是抛物线的弦，所在直线过该抛物线的准线与y轴的交点，是弦在两端点处的切线的交点，小明同学猜想：在定直线上．你认为小明猜想合理吗？若合理，请写出所在直线方程；若不合理，请说明理由．