函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数
在
处的极限定义如下：
，存在正数
，当
时，均有
，则称在处的极限为A，记为
，例如：
在
处的极限为2，理由是：，存在正数
，当
时，均有
，所以
.已知函数
，
，（
，
为自然对数的底数）.
(1)证明：
在
处的极限为
；
(2)若
，
，
，求
的最大值；
(3)若
，用函数极限的定义证明：
.
在处的极限定义如下：，存在正数，当时，均有，则称在处的极限为A，记为，例如：在处的极限为2，理由是：，存在正数，当时，均有，所以.已知函数，，（，为自然对数的底数）.(1)证明：
在处的极限为；(2)若
，，，求的最大值；(3)若
，用函数极限的定义证明：.
更新时间：2024-05-26 11:36:55
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐1】①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i）四则运算法则：如果
，
，则
，
，若
，则
；ii）洛必达法则1：若函数
，
的导函数分别为
，
，且
，
则
；②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对
，均有
成立，则称函数为区间
上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)计算：①
；
②
；
(2)试判断
是否为区间
上的2阶无穷递降函数；并证明：
，
.
，，则，，若，则；ii）洛必达法则1：若函数，的导函数分别为，，且，则；②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：(1)计算：①
；②
；(2)试判断
是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，.
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
真题
【推荐2】已知
函数
．
（Ⅰ）求函数
的定义域，并判断的单调性；
（Ⅱ）若
；
（Ⅲ）当
（
为自然对数的底数）时，设
，若函数
的极值存在，求实数
的取值范围以及函数的极值．
函数．（Ⅰ）求函数
的定义域，并判断的单调性；（Ⅱ）若
；（Ⅲ）当
（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值．
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，
，且
，则
；
，均有
成立，且
，则称函数
上的k阶无穷递降函数.
不是区间
上的2阶无穷递降函数；
；
，
；求证：
.
解答题-问答题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐1】已知正实数
，设函数
．
（1）若
时，求函数在
的值域；
（2）对任意实数
均有
恒成立，求实数的取值范围．
，设函数．（1）若
时，求函数在的值域；（2）对任意实数
均有恒成立，求实数的取值范围．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐2】已知函数
，其中为自然对数的底数．
（1）当
时，证明：
；
（2）设实数
，
是函数
的两个零点，求实数的取值范围．
，其中为自然对数的底数．（1）当
时，证明：；（2）设实数
，是函数的两个零点，求实数的取值范围．
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两个极值
点.
时，求
；
时，求
解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐1】对于函数
，若实数
满足
，其中F、D为非零实数，则称为函数的“
笃志点”.
(1)若
，求函数的“
笃志点”；
(2)已知函数
，且函数有且只有3个“
笃志点”，求实数a的取值范围；
(3)定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得
恒成立或
恒成立.对于有序实数对
，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由.
，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”.(1)若
，求函数的“笃志点”；(2)已知函数
，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围；(3)定义在R上的函数
满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由.
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困难
(0.15)
【推荐2】已知函数
，
．
(1)当
时，求曲线在处的切线方程；
(2)若方程
有唯一的正根，求实数的取值范围．
，．(1)当
时，求曲线在处的切线方程；(2)若方程
有唯一的正根，求实数的取值范围．
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在
处的切线方程为
．
有两个实数根
，
；
时，
是否成立？如果成立，请简要说明理由．
