【推荐1】在斜边长为4的等腰直角三角形中，点在斜边（不含端点）上运动，将沿线段折到位置，则三棱锥体积的最大值是______.

【推荐2】中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍（chú méng）者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也．甍，屋盖也．”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有长没有宽为一条棱的五面体．刍甍字面意思为茅屋屋顶．如图所示，现有刍甍，所有顶点都在球O的球面上，球心O在矩形所在的平面内，，，该刍甍的体积最大时，________，体积的最大值为_________．

【推荐3】在空间直角坐标系中，四面体在坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示）．该四面体的体积是____．

【推荐1】如图，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于点，，设，给出下列四个结论：

①四边形一定为菱形；
②若四边形的面积为，，则有最大值；
③若四棱锥的体积为，，则为单调函数；
④设与交于点，连接，在线段上取点，在线段上取点，则的最小值为．
其中所有正确结论的序号是________．

【推荐2】如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面为的中点，为内一动点（不与三点重合）.给出下列四个结论：

   

①直线与所成角的大小为；②；③的最小值为；④若，则点的轨迹所围成图形的面积是.
其中所有正确结论的序号是__________.

【推荐3】如图，在三棱锥中，平面平面为棱上靠近点的三等分点，且为的角平分线，则二面角的平面角的正切值的最小值为______．

【推荐1】如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________.

   

【推荐2】如图，在长方体中，，，是与的交点，、分别为下底面、上底面上的点，且.现给出下列结论：
①直线与底面所成的角为；
②异面直线与所成角的最大值为；
③异面直线与所成角的最小值为；
④三棱锥的外接球的体积为.
其中正确结论的序号是_______.

【推荐3】三棱锥中，点是斜边上一点，给出下列四个命题：
①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；
②若，平面，则三棱锥的外接球表面积为；
③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2；
④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为．
其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上）

【推荐1】已知矩形，，，现将沿对角线向上翻折，若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是______．

【推荐2】如图，在边长为2的正方形中，点是边的中点，将沿翻折到，连结, ，在翻折到的过程中，下列说法正确的是_________．（将正确说法的序号都写上）

①四棱锥的体积的最大值为；
②当面平面时，二面角的正切值为；
③存在某一翻折位置，使得；
④棱的中点为，则的长为定值．

【推荐3】如图，在正方体中，点为线段的中点，设点在线段上二面角的平面角为，用图中字母表示角为__________，的最小值是__________．