1 . 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，连接、，求出周长的最小值时点的坐标；
(3)若点是第四象限抛物线上的动点，求面积的最大值以及此时点的坐标；

2 . 如图，二次函数的图象经过坐标原点，与x轴交于点．
   
(1)求二次函数的解析式；
(2)当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值；
(3)在抛物线上是否存在点P，满足
，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y于点B，已知抛物线经过A、B两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是在直线AB上方的抛物线上的动点，连接PA、PB，当点P到直线AB的距离最大值时，求点P的坐标；
(3)若二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差等于8，求t的值．

4 . 已知抛物线与轴交于，两点，为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连结，且，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点作轴的平行线交线段于点，过点作交抛物线于点，连结、，求的面积的最大值；
②连结，求的最小值．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，直线交两坐标轴于、两点，二次函数图象经过，，三点且．

(1)求二次函数的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点？使得的长度最短若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在直线上方抛物线上是否存在点？使得的面积有最大值若存在，求出点的坐标及此时的面积；若不存在，请说明理由．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．

(1)求二次函数解析式；
(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
(3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由．

8 . 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接，，．

(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)如图1，当点F的坐标为，过点P作x轴的垂线，交线段于点D，求线段长度的最大值；
(3)如图2，是否存在点F，使得是以点A为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

9 . 如图，已知二次函数的图象交轴于点，交y轴于点C．
   
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，求面积的最大值；
(3)直线（不经过点）分别交直线和抛物线于点，当是等腰三角形时，直接写出的值．

10 . 综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，连接．

(1)求抛物线的解析式；
(2)P是下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作轴于点D．
①求的最大值；
②连接，是否存在点P，使得线段把的面积分成两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．