1 . 综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点．

(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
(2)连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2 . 在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上．

(1)如果四个点中恰有三个点在二次函数（a为常数，且）的图像上．
① ：
②如图1，已知菱形的顶点B、C、D在该二次函数的图像上，且轴，求点D的坐标；
③如图2，已知正方形的顶点B、D在该二次函数的图象上，点B、D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．
(2)已知正方形的顶点B、D在二次函数（a为常数，且）的图像上，点B在点D的左侧，设点B、D的横坐标分别为m、n，直接写出m、n满足的等量关系式．

3 . 综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点．

(1)求点A，B，C的坐标；
(2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积．

4 . 综合与探究：
如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B右侧），与y轴交于点C，点D是对称轴右侧第一象限内抛物线上一点．

(1)求出点A，B，C的坐标；
(2)当时，求出点D的坐标；
(3)在满足（2）的条件下，如图2，过点C作，交直线于点E，连接．则四边形是否为平行四边形？请说明理由．

5 . 综合与探究
如图，已知抛物线经过点，连接，点M是的中点，抛物线的对称轴交x轴于点F，连接．

(1)求抛物线的解析式及n的值；
(2)点D在抛物线的对称轴上，若的周长最小，则点D的坐标为______；
(3)求线段的长及的度数；
(4)若点N是x轴上一动点，则在坐标平面内是否存在点E，使以点F、M、N、E为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 综合与探究
如图1，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D在线段上，连接，，．设点D的横坐标是m．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)如图2，过点D作，交于点P，用含m的代数式表示的面积，并求出m为何值时，的面积有最大值；
(3)已知Q为抛物线上一点，是否存在以B，C，D，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

9 . 已知，经过点的抛物线与x轴相交于点及原点O．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点A作轴，垂足为H，平行于y轴的直线交线段于点Q，交抛物线于点P，当四边形为平行四边形时，求的度数；
(3)如图2，试探究：在抛物线上是否存在点C，使？若存在，请求出直线解析式；若不存在，请说明理由．