1 . 综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接、．过点E作交直线于点F．

(1)如图1，试猜想线段与的数量关系，并说明理由；
(2)如图1，求证：；
(3)如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段、、之间的数量关系．

2 . 如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分．

(1)求的度数．
(2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）．
①在旋转过程中，若边，求t的值．
②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值．

4 . 综合探究
学习几何时，通常是先用几何的眼光去观察，再用代数的方法去验证．网格是研究几何图形的一种工具，也是培养几何直观的一种方式．

(1)如图是正方形网格，每一个小正方形的边长为1，其顶点称为格点．
①如图1，点，均在格点上，仅用无刻度的直尺找出线段的中点（不写画法，保留画图痕迹）；
②如图2，点，，均在格点上，仅用无刻度的直尺画出绕点逆时针旋转得到的（不写画法，保留画图痕迹）；
(2)如图3，点，，均在格点上，仅用无刻度的直尺画出中的角平分线（不写画法，保留画图痕迹）；
(3)如图4，在和中，点在边上，且，连接．若，，，求的长．

5 . 如图，在中，，，O为的中点，将绕点O顺时针旋转得到，D、E分别在边和的延长线上，连接，若，则的面积是（　　）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，在四边形中，对角线相交于点O，，，若，则的值为 __________________．

   

7 . 如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止．
（1）若经过x秒，用x的代数式表示，则__________；
（2）经过 ____________________秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为．

8 . 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
(1)“快乐方程”的“快乐数”为________；
(2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．

9 . 在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：

(1)【问题再现】如图1，在中，、的角平分线交于点P，若．则______；
(2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，若，求的度数．
(3)如图3，在中，、的角平分线交于点P，将沿DE折叠使得点A与点P重合，若，则______；
(4)【拓展提升】在四边形中，，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接，、的角平分线交于点Q，若，，求和，之间的数量关系．

10 . 如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，，射线、分别绕点，点以度/秒和度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间___________．