1 . 已知为等边三角形，分别为线段，上一点，，与交于点.

(1)如图1，若，，求的长；
(2)如图2，为射线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，若，证明：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，为线段上的动点，随着的运动而运动，连接，当取得最大值时，直接写出的面积．

2 . 三月是草长莺飞的好时节，某高校组织学生春游，出发点位于点C处，集合点位于点E处，现有两条路线可以选择：①，②．已知B位于C的正西方，A位于B的北偏西方向米处，且位于C的北偏西方向处．D位于A的正西方向米处，E位于C的西南方向，且正好位于D的正南方向．
（参考数据：，，，）

(1)求A与C之间的距离（结果保留整数）；
(2)已知路线①的步行速度为40米/分钟，路线②的步行速度为75米/分钟，请计算说明：走哪条线路用时更短？（结果保留一位小数）

3 . 清明节传承了中华文明的祭祀文化，是中华民族最隆重盛大的祭祖大节.清明节来临之际，某商家共花费4500元购买了一批艾粄和青团.已知商家购买艾粄的费用比购买青团费用的3倍少1500元.
(1)商家购买艾粄和青团各花费多少元？
(2)若每袋艾粄的进价比每袋青团的进价高5元，且购进艾粄的数量是青团数量的1.5倍，则每袋青团的进价为多少元？

4 . 中考体考在即，某校对初三年级共830名学生进行了最后一次体测（满分50分且分数均为整数）.测试完成后，发现所有学生成绩均为40分及以上.现从该年级甲、乙两班中各随机抽取10名学生的成绩进行整理、描述和分析（分数用x表示，为合格，为良好，为优秀），得到下列信息：
甲班10名学生的测试成绩为：50，46，40，49，50，50，47，49，50，47
乙班10名学生的测试成绩中，“良好”等级包含的所有数据为：48，47，48，48，47
抽取的甲、乙两班学生测试成绩统计表

班级	平均数	中位数	众数
甲班	47.8	49	a
乙班	47.8	b	49

       

根据以上信息回答以下问题：
(1)填空：____________，____________，____________；
(2)你认为甲乙两个班哪个班的学生测试成绩较好，并说明理由（写出一条理由即可）；
(3)请估计该校初三年级参加此次测试中成绩等级为“优秀”的学生人数有多少名？

5 . 黄河流域两岸地带培育的大红枣，学名“木枣”，自古以来就被列为“五果”（桃、李、梅、杏、枣）之一，“家家利”超市购进一批大红枣，一箱的进价为18元，标价为21元，在春节期间，该超市准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可以打______折．

6 . 莴笋是一种营养价值极高的蔬菜．实践小组观察记录了莴笋的成长过程，下图表示莴笋苗的成长高度y（）与观察时间x（天）的函数图像，则莴笋成长的最大高度是（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 已知与的积与是同类项．
(1)求的值，
(2)先化简，再求值：．

8 . 洛阳老君山风景区位于河南省洛阳市栾川县境内，在景区内有一座老子铜像（图1）．某数学兴趣小组开展了测量老子铜像高度的实践活动，具体过程如下．
【制定方案】
如图2，在老子铜像左右两侧的地面上选取两处，分别测量老子铜像的仰角．且点在同一水平直线上，图上所有点均在同一平面内．
【实地测量】
小颖同学用测角仪在点处测量点的仰角为，小亮同学用测角仪在点处测量点的仰角为53°，测得两点间的距离约为．
【解决问题】
已知测角仪的高度为，求老子铜像高的值．（结果精确到．参考数据：）

9 . 为了贯彻“双减”政策，落实“五育并举”，某校开设了丰富的劳动教育课程．小东、小亮两名同学分别从“园艺”“厨艺”“陶艺”“手工”4门课程中随机选择一门学习，则小东、小亮两人选择同一门课程的概率是（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，一艘轮船从港口O出发向东北方向航行了到达A处，在港口的东南方向处有一灯塔B，此时A，B之间的距离为____________．