1 . 类比探究题：
【建立模型】
如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：．
【应用模型】
如图2，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为直角边作等腰直角，使，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，请写出y与x的函数关系．
【拓展拔高】
如图3，矩形中，，，点P是边上的一个动点（点P与点B，C都不重合），现将沿直线折叠，使点C落到点F处；过点P作的角平分线交于点E．设，，求y与x的函数关系：y是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由．

2 . 旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为．
新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：；
类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由．
延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系．

3 . 【知识回顾】图1中点P是的角平分线上的一点，过点P作，，垂足分别是E、F，则与的数量关系为        ．
【知识探究】如图2，点P是的角平分线上的一点，M、N分别是两边的反向延长线上的点，若，则与的数量关系为        ．

【问题解决】已知，直线，交于点O，点E是平分线的一点，点M，N分别是射线，上的点，且．
①如图3，求证：；
②如图4，点F在线段上，点G在线段延长线上，连接，，若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

4 . 对于平面直角坐标系中的点P和线段，已知点A的坐标为，点B的坐标为．给出如下定义：若线段上存在点Q，使得点P绕着点Q旋转得到的对应点在线段上，则称点P为线段的“关联点”．例如图1中，点绕线段上的点旋转后， 得到的对应点与点A重合，满足在线段上的条件，则点P为线段的“关联点”．

(1)如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”有        ；
(2)若是线段的“关联点”，且此时的坐标为，与点B重合，求点的坐标；
(3)当时，在反比例函数的图象上存在线段的“关联点”，直接写出k的取值范围．

5 . （1）【操作】将如图①所示的四张大小形状完全相同的长方形纸片按如图②方式拼成一个大正方形，利用面积的不同表示方法可以表示的代数恒等式___________；
（2）【应用】按图③方式顺次连接图②中四张长方形纸片的对角线，得到正方形，设，利用正方形的面积的表示方法证明勾股定理；
（3）【拓展】如图③，若，中间小正方形的面积是，求的值．

6 . 二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用．如图，在“神舟八号”中要将某一部件的一个长方形变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是，宽是，那么圆的半径应是（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 作图题

(1)在图①中，过点P作P到的垂线段，垂足为 ，（填“”“”或“”），理由是                                  
(2)过点P作直线，，则三点共线，理由是                   

8 . 计算题
(1)计算：
(2)若一个正数x有两个不同的平方根为和，求x和m的值

9 . 现有以下命题：
①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
②若是完全平方式，则；
③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴；
④如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长也相等；
⑤预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包．
其中真命题的个数有（     ）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

10 . 综合与实践
一个直角三角形的两条直角边分别为a，，斜边为c．我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形．（这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”）

探究活动
（1）如图1，中间围成的小正方形的边长为__________（用含有a，b的代数式表示）；根据大正方形的面积表示可以得出，，的一个等式：__________，并给出证明过程；
【证明】
初步运用
（2）利用上述的结论完成下列问题：
①直角三角形两边长分别是6，8，则第三边的平方为__________；
②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的面积分别是3，5，2，3，则正方形E的边长是__________．