1 . 春节，即农历新年，是一年之岁首、传统意义上的年节．春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某工厂计划生产A、B两种喜迎新春产品共件，其中A种产品的件数比B种产品件数的3倍少件．求工厂计划生产两种新春产品各多少件？

2 . [感知]如图①，为等边的外接圆．为的直径，线段与交于点E，探究线段的数量关系．
小明同学的做法是：过点C作的垂线交延长线于点F，连接．易证．进而得出，．则线段的数量关系是：
______．
[探究]如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，D为弧上一点，于E，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立说明理由．
[应用]如图③，是的外接圆，是直径，．点D在上，且点D与点C位于线段两侧，过点C作线段的垂线，交线段于点E，若点E为的三等分点，则的值为______．

3 . 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线（b是常数）经过点．点M、点A在该抛物线上横坐标分别为m，．把点M向下平移1个单位．得到点C．以为对角线构造矩形，其中垂直于x轴．

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)当点M与点D重合时，求点D的坐标；
(3)当点A在抛物线对称轴右侧时，连接，当线段将矩形的面积分为时，求m的值．
(4)当时．设抛物线与矩形的边交于点N（点N不与点A、M重合），当直线与矩形的某条边所夹锐角的正切值为时，直接写出m的值．

4 . 如图①，在中，，，点D是上一点，且．动点F从点C出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向经点B运动，以为边构造等腰直角三角形，其中F为直角顶点，且点E与点B位于线段两侧．设点F的运动时间为t（秒）．
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(1)求线段的长度；
(2)当点E落在的中位线上时，求出t的值：
(3)连接，则线段的最小值是______．
(4)如图②．以点B为位似中心，将缩小后得到，且．连接，当与的某条边平行时，直接写出t的值．

5 . 在平面直角坐标系中，抛物线（、是常数）的对称轴为直线，且函数的最大值为4，点在该抛物线上，它的横坐标为，设点坐标为．过点作直线轴于点，以和为一组邻边构造平行四边形．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)若平行四边形是矩形，求的值；
(3)当抛物线的对称轴分平行四边形的面积为的两部分时，求的值；
(4)若抛物线在四边形内部随着的增大而减小，直接写出的取值范围．

6 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线顶点的坐标为，与平行的动直线与抛物线交于，两点（且点在点的左边），以为斜边向右下方做等腰直角三角形，直角顶点为点，直角边与抛物线交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当点恰好与抛物线与轴的交点重合时，求的值；
(3)当直线与抛物线的交点距离时，是否存在点在抛物线上，点在直线上，使得为等腰直角三角形？若存在，求出的面积；若不存在，请说明理由；
(4)连接，当的面积被线段分为的两部分时，直接写出点的坐标．

7 . （1）【操作】将如图①所示的四张大小形状完全相同的长方形纸片按如图②方式拼成一个大正方形，利用面积的不同表示方法可以表示的代数恒等式___________；
（2）【应用】按图③方式顺次连接图②中四张长方形纸片的对角线，得到正方形，设，利用正方形的面积的表示方法证明勾股定理；
（3）【拓展】如图③，若，中间小正方形的面积是，求的值．

8 . 我国汉代数学家赵爽创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图①)．八年级小明同学在图①的基础上探究由四个全等的直角三角形所围成的图②．已知在中，，，，．

(1)请利用图②，验证勾股定理；
(2)若图②中大正方形的面积为60，小正方形EFGH的面积为20，求的面积；
(3)若，，求正方形的周长．

9 . 某校组织学生进行视力检查，共开设了 A，B，C 三个检查窗口，每位同学随机选择其中一个窗口进行检查．
(1)甲同学选择A 窗口检查的概率是______；
(2)甲同学和乙同学选择同一个窗口检查的概率是多少？

10 . 某文具店的A牌钢笔比B牌钢笔每只贵10元，小彬买了3支A牌钢笔、2支B牌钢笔，一共花了130元．B牌钢笔每支多少钱？