1 . 探究与证明
旋转是几何图形运动中的重要变换，数学探究课上，兴趣小组的同学以直角三角形为背景，借用教具或电脑软件工具进行数学实验，探究几何图形运动变化中的数学结论．

   

(1)实验发现：是任意直角三角形，．将绕顶点B顺时针旋转得到，旋转角为，直线交直线于点F．当点E落在边上时（如图1），猜想与数量关系为______；继续旋转，当时（如图2），判断四边形的形状为______．
(2)深入探究；在（1）中图2的基础上，将绕点B逆时针旋转，旋转角为，当时（如图3），直接写出，，的数量关系为______；继续旋转，当时（如图4），请写出线段，，的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用：在（2）的基础上，当时，若，，请直接写出的长．

2 . 综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．

(1)操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长         ，面积为         ．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为         ．
(3)拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．

5 . 如图1，直线与轴、轴分别交于、两点，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究：

(1)      ，     ；
(2)当时，求出、的值；
(3)如图当垂直时，
①猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论；
②求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

6 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，将抛物线平移后得到抛物线，两抛物线交于点，过点作轴的平行线交抛物线和平移后的抛物线分别为点和点（点在点的左侧），抛物线的顶点为．

(1)求抛物线的顶点的坐标；
(2)若点的横坐标为，且，求的长；
(3)若，设，求关于的函数表达式．

7 . 【问题提出】
如图1，在矩形中，点在上，且，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为．
【初步感知】
如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点．
（1）求矩形的边和的长；
【深入探究】
（2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等．

8 . 综合实践课上，老师提出如下问题：
如图①所示，已知，并且知道与的度数，就可以求出的度数．

(1)问题提出：如果，．求的度数．
小米同学看过图形立即求出，请你帮小米同学完成证明过程．
证明：如图②所示，过点P作．
(2)问题迁移：如图③所示，，点P在射线上运动，当点P在A，B两点之间运动时，设， ，则，，之间有何数量关系？请说明理由．
(3)在（2）的条件下，如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），则，，之间有何数量关系并说明理由．

9 . 探索与发现：
小李同学在用作图软件探索图形性质的数学活动中，进行如下操作：
如图，在边长为3的正方形的边上取定点E，使，在边上设置动点P，连接，以为边在的上方作正方形，接，．

   

(1)小李同学通过观察发现图中，请给出证明；
(2)探索过程中发现，在点P运动过程中，的面积是个定值，请证明并求出这个定值 ；
(3)进一步探索后发现，随着点P的运动，的周长会随点P位置的变化而变化，但存在一个最小值，请你求出周长的最小值．

10 . 如图，在四边形中，，点是的中点，，点在边上，四边形的面积为9，则的值为______．