1 . 观察下面各式：
，，，
(1)按照上述规律，第5个等式是：________________；
(2)第n个等式是：________________；
(3)运用你发现的规律计算：．

2 . 如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向A点运动．设运动时间为．

(1)第时，______，______．（用含的代数式表示）
(2)当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值．

3 . 【问题提出】
如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有多少种不同的选择方法？
【问题探究】
为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．
探究一：
如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数， 会有多少种不同的选择方法？
如图1，当，时，显然有种不同的选择方法；
如图2，当，时，有，；，；，这种不同的选择方法；
如图3，当，时，有______种不同的选择方法；
……
由上可知： 从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有     种不同的选择方法．
探究二：
如果从，，，个连续的自然数中选择个，个个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？
我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空

1

2

3

……

43

44

45

46

47

49

50

从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法；
从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法；
由上可知：如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_____种不同的选择方法．
【问题解决】
如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有_____种不同的选择方法．
【实际应用】
我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．
(1)今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有______种不同的选择．
(2)星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排号到号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有种不同的选择方法．

4 . 用同样规格的黑白两种颜色的正方形．按如图的方式拼图，请根据图中的信息完成下列的问题：
   
(1)在图②中用了______块白色正方形，在图3中用了______块白色正方形；
(2)按如图的规律继续铺下去，那么第个图形要用______块白色正方形；
(3)如果有足够多的黑色正方形，能不能恰好用完2023块白色正方形，拼出具有以上规律的图形？如果可以请说明它是第几个图形：如果不能，说明你的理由．

5 . 用同样规格的黑、白两种颜色的正方形瓷砖按如图所示的方式铺校园内小路

(1)按照此方式铺下去，铺第n个图形用黑色正方形瓷砖______块，用白色正方形瓷砖______块（用含n的代数式表示）；
(2)若黑、白两种颜色的瓷砖每一小块规格都为1米×1米，若按照此方式铺满一段长35米，宽为3米的小路，需要黑色瓷砖多少块？

6 . 如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．

(1)2节链条长______________；3节链条长_____________；
(2)节链条长____________；
(3)如果一辆自行车的链条由50节这样的链条组成，那么这辆自行车上链条总长度是多少？

7 . 观察下面三行数：
第一行：、4、、16、、
第二行：1、7、、19、、
第三行：5、、11、、35、
（1）直接写出第二行第8个数：______．
（2）直接写出第二行第n个数______；第三行第n个数：______．

9 . 将正方形（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），线段和交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形再划分，得图3，则图3中共有9个正方形．

(1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第5次划分后，图中共有______个正方形；
(2)继续划分下去，第n次划分后图中共有______个正方形；
(3)能否将正方形划分成共有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由；
(4)如果设原正方形的边长为1，按照上述方式不断地分割该正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，尝试求出的结果（直接写出答案即可）．

10 . 将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．

(1)如果剪n次共能得到______个等边三角形．
(2)若原等边三角形的边长为1，设表示第n次所剪出的小等边三角形的边长，如．
①试用含的式子表示______；
②计算______；
(3)运用（2）的结论，计算的值．