1 . 观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：

(1)在④后面的横线上写出相应的等式；
①；②；③；④           ；
(2)试用含有n的式子表示这一规律：           ；（为正整数）
(3)请计算：．

2 . 定义一种新运算：观察下列式子：




(1)请你想一想：______；
(2)若，那么（填入“”或“”）
(3)若，请计算的值．

3 . 观察图，解答下列问题．

(1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，第n层有______个圆圈．
(2)某层上有67个圆圈，这是第______层．
(3)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法．
比如：前两层的圆圈个数和或，由此得，．同样，
由前三层的圆圈个数和得：．
由前四层的圆圈个数和得：．
由前五层的圆圈个数和得：．
请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是多少？用公式把它表示出来______．
(4)计算：的和；
(5)计算：的和．

4 . 用边长为1的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼正方形．

第（1）个图形用了1张正方形纸片；
第（2）个图形用了张正方形纸片；
第（3）个图形用了张正方形纸片；
第（4）个图形用了张正方形纸片；……
(1)由此可得：______(用含n的式子表示)；
(2)完成下列问题：
①直接写出的计算结果是______；
②计算的结果．

5 . 将连续奇数1，3，5，7，9………排成如图所示的数表．

(1)十字框中的五个数字之和与中间数有什么关系？
(2)将十字框上下左右移动，可框住另外五个数，设中间数为a，请你用代数式表示其它四个数，并写出十字框的五个数之和．
(3)设中间数为a，十字框中的五个数之和能等于吗？说明理由．

6 . 如图的数阵是由88个偶数组成：
   
(1)观察数阵中平行四边形框内的四个数之间的关系，在数阵中任意作一个相同的平行四边形框圈出四个数，设其中最小的数为x，那么其他三个数怎样表示？
(2)甲同学这样圈出的四个数的和为432，你能求出这四个数吗？
(3)乙同学想用这样的框圈出和为172的四个数，可能吗？若能，请写出这四个数；若不能，请说明理由．

7 . 已知，且n为自然数，对进行如下分裂，可分裂成n个连续奇数的和，如图：

即如下规律：



……
(1)按上述分裂要求，将分裂成奇数和的形式：______，可分裂的最大奇数为______；
(2)按上述分裂要求，可分裂成连续奇数和的形式：
______（填最大奇数，用含的式子表示）；
(3)用上面的规律求：．

8 . 如图是用棋子摆成的“上”字：
   
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
(1)第四、第六个“上”字分别需用 　　和 　　枚棋子；
(2)第个“上”字需用 　　枚棋子；
(3)摆成第2023个“上”字需要多少枚棋子？

10 . 如图是我国古代窗格的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸．图1中所贴剪纸“O”为5个，图2中所贴剪纸“O”为8个，图3中所贴剪纸“〇”为11个，…，以此类推．
   
(1)求图4和图10中所贴剪纸“〇”的个数；
(2)第n个图中所贴剪纸“〇”的个数．