1 . 观察下面的计算：
①，，即为；
②，，即为；
③，，即为；
④，，即为；
(1)根据上面的计算，请你写出第9个的等式即为                 ；
(2)根据上面的计算，请你猜想第n个的等式即为                 ；
(3)请你证明你的猜想．

2 . 观察下列算式：
①
②
③
④___________________________
……
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；
(3)你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

3 . 已知一列数，它们满足关系式，当时，则（       ）

A．2

B．

C．

D．

4 . 将长为，宽为的长方形白纸按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为．
   
(1)根据图，将表格补充完整．

白纸张数	1	2	3	4	5	…
纸条长度	40	______	110	145	______	…

(2)设张白纸黏合后的总长度为，则与之间的关系式是什么？
(3)你认为白纸黏合起来总长度可能为吗？为什么？

5 . 如图，某品牌自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．
   
(1)观察图形，填写下表：

链条节数（节	2	3	4
链条长度

(2)请你写出y与x之间的关系式；
(3)如果一辆自行车上安装的链条共有60节，那么链条的总长度是多少？

6 . 用大小相同的实心圆摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆成的第n个图案中，共有实心圆的个数为________．

7 . 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律
   
(1)图1是2023年11月份的月历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：　　　　，　　　　，不难发现，结果都等于　　　　．（请完成填空）
(2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
(3)如图2，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数的乘积为57，那么中间位置上的数　　　　．

8 . 如图，已知中，，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为秒．
   
(1)用含的代数式表示的长度．
(2)若点、的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由；
(3)若点、的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？

9 . 用棋子摆出下列一组三角形，三角形每边有n枚棋子，每个三角形的棋子总数为s，如图按此规律推断，当三角形的边上有2023枚棋子时，该三角形棋子总数s=______．

10 . 小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：__________________（填写一个符合上述运算特征的例子）．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________．
(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律．
①化简：______；
②若（a，b均为正整数），则的值为______．