2 . 观察下列式子：①，②，③，…
(1)请写出第④个等式：　 　；
(2)根据你发现的规律，试写出第n个等式：　 　；
(3)利用所学知识，说明第n个等式成立．

3 . 下图的数阵是由全体奇数排成：
   
(1)图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？
(2)在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由；
(3)这九个数之和能等于2020吗？2005，1017呢？若能，请写出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由．

4 . 某商场为了促销，设计了抽奖活动，方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
探究一：①从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①

所取的2个整数	1，2	1，3	2，3
2个整数之和	3	4	5

如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
②从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②

所取的2个整数	1，2	1，3	1，4	2，3	2，4	3，4
2个整数之和	3	4	5	5	6	7

如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
③从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
④从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．
探究二：
①从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
②从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．
探究三：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．
归纳结论：从1，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．
问题解决：从100张面值分别为l元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．
拓展延伸：
①从l，2，3，…，n（n为整数，且）这n个整数中任取6个整数，使得取出的这些整数之和共有2023种不同的结果？（写出解答过程）
②从3，4，5，…，（n为整数，且）这个整数中任取个整数，这a个整数之和共有______种不同的结果．

5 . 观察下列现象：；；；；；……以上每个等式中两边数字是对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
(1)根据上面各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”
①__________________；       
②__________________；
③__________________
(2)设这类等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，且，请你用含，式子表示“数字对称等式”的一般形式；
(3)证明你在（2）中写出的等式的正确性．

6 . 观察下列等式及验证，解答后面的问题：
第1个等式：，验证：；
第2个等式：，验证：；
第3个等式：，验证：．
(1)请写出第4个等式，并验证；
(2)按照以上各等式反映的规律，猜想第个为正整数，且等式，并通过计算验证你的猜想．

7 . 观察下列算式：
算式①：
算式②：
算式③：
…
(1)按照以上三个算式的规律，请写出算式④：____________；
(2)上述算式用文字可表述为：“两个连续奇数的平方差能被8整除”．若设两个连续奇数分别为，（n为整数），请证明这个命题成立；
(3)命题：“两个连续偶数的平方差能被8整除”是____________命题（填“真”或“假”）：

8 . 判断下面各式是否成立．
①；②；③
(1)根据上述规律，请写出第6个等式；
(2)用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明．

9 . 使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里面叫做平面镶嵌）．平面镶嵌显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形．

(1)请填写下表

正多边形的边数	3	4	5	6	…	n
正多边形每个内角的度数					…

(2)如果单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是________
A．正三角形                    B．正六边形                    C．正方形                           D．正五边
(3)在镶嵌平面时，围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角，请求x和y的值

10 . 观察下列各式．
第个等式：；
第个等式；
第个等式；

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
(1)第个等式：______．
(2)请你按照上面三个等式反映的规律，猜想第个等式，并给出证明．