1 . 细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．
   
，；
，；
，；
……
(1)请用含有（是正整数）的等式表示上述变化规律：________；________．
(2)求出的长．
(3)若一个三角形的面积是，计算说明它是第几个三角形？

2 . 观察下列等式：第1个等式为：；第2个等式为：；第3个等式为：…根据等式所反映的规律，解答下列问题：
(1)第4个等式为_________；
(2)猜想：第n个等式为_________（n为正整数）；
(3)根据你的猜想，计算：．

3 . 观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：　             　；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示，，且为整数），并加以证明．

4 . 课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是老师提出以下问题让学生解决．
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，______，______；
(2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，…，则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为______，______；
(3)用所学知识证明（2）中你所发现的这类用字母表示的勾股数的规律．

5 . 如图，已知直线：，直线：和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为（     ）

   

A．

B．

C．

D．

6 . 图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
   
(1)图2中的阴影部分正方形的边长是           （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是：           （请选择正确的一个）；
A．
B．
C．
(3)如图3，C是线段上的一点，以为边向上分别作正方形和正方形，连接．若，求的面积．

7 . 如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（       ）

a	b	c
3	4	5
8	6	10
15	8	17
24	10	26
…	…	…
x	14	y

A．67

B．34

C．98

D．73

8 . 2022年北京冬奥会开幕式主火炬台由96块小雪花形态和6块橄榄枝构成的巨型“雪花”形态，在数学上，我们可以通过“分形”近似地得到雪花的形状．
【观察思考】
将一个边长为1的等边三角形（如图①）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图②），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图③），称为第二次分形。不断重复这样的过程，就得到了“科赫雪花曲线”．
   
【规律总结】
（1）第四次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个的_________倍；
（2）试猜想第n次分形后所得图形的边数为_________（用含n的代数式表示）．
【问题解决】
（3）若该图①中等边三角形的边长为1，根据以上步骤进行操作，得到了一个周长为的图形，按此规律计算，要想得到此图形，需要经过多少次分形？

9 . 如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第3列的数是______．
   

10 . 观察探究及应用；
(1)观察下列图形并完成填空．
如图①一个四边形有2条对角线；
   
如图②一个五边形有5条对角线；
   
如图③一个六边形有______条对角线；
   
如图④一个七边形有______条对角线；
   
(2)分析探究：由凸n边形的一个顶点出发，可做______条对角线，一个凸n边形有______条对角线；
(3)应用：一个凸十二边形有______条对角线．