1 . 如图1，在平面直角坐标系中，点，过函数图象上一点作轴的平行线交直线于点，且．

            
(1)①求的长度（用含有的代数式表示）；
②求的值，并写出的解析式；
(2)过函数图象上任意一点，作轴的平行线交直线于点，是否总有成立？请说明理由；
(3)如图2，若是函数图象上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，分别过点作的垂线交轴于点，问是否存在点，使得矩形的周长取得最小值？若存在，请求出此时点的坐标及矩形的周长；若不存在，请说明理由．

3 . 问题提出
（1）如图1，在四边形中，，，，与之间的距离为4，则四边形的面积为______；
问题探究
（2）如图2，在四边形中，，若，对角线，求四边形的最大面积；
问题解决
（3）某地在文旅开发建设中规划设计梯形为非遗展示区，计划分为传统、创新两个区域．如图3，已知，，，，，则是否存在面积最大的四边形？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

5 . 如图，正方形，点为对角线上任意一点（不与，重合），连接，过点作，交线段于点，以，为邻边作矩形，连接．

(1)求证：；
(2)猜想线段，，之间的数量关系（用等式表示），并证明．
(3)若正方形的边长为2，设四边形的周长为，直接写出的取值范围．

6 . 已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点M在的延长线上，作、的角平分线交于点N，交于点P，设．
①若，试判断直线上是否存在一点K使得，并说明理由；
②如图3，作的角平分线交于点Q，若，请直接回答与的数量关系：______．

8 . 如图1：在中，

(1)利用尺规作图，做出这个三角形的一条中位线，（要求：点在上，点在上；
(2)直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了相关知识后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的另外一种证明方法．该数学小组建立如图2所示的直角坐标系，已知点，分别是，边的中点，不妨设点，点，．请你利用该数学学习小组的思路证明且．（提示：中点坐标公式，，，，，则，中点坐标为，
(3)如图3：在中，，，，延长至点，，连接并延长边于点，若，则是否存在最小值，若存在求出最小值，若不存在，请说明理由．

9 . （1）如图①，在中，．若点P是边上一点．则的最小值为 　　．
（2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值．
（3）公园内有一条四边形型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）