2 . 如图1：在中，

(1)利用尺规作图，做出这个三角形的一条中位线，（要求：点在上，点在上；
(2)直角坐标系的建立，在代数和几何之间架起了一座桥梁，用代数的方法解决几何问题：某数学小组在自主学习时了解了三角形的中位线及相关的定理，在学习了相关知识后，该小组同学深入思考，利用中点坐标公式，给出了三角形中位线定理的另外一种证明方法．该数学小组建立如图2所示的直角坐标系，已知点，分别是，边的中点，不妨设点，点，．请你利用该数学学习小组的思路证明且．（提示：中点坐标公式，，，，，则，中点坐标为，
(3)如图3：在中，，，，延长至点，，连接并延长边于点，若，则是否存在最小值，若存在求出最小值，若不存在，请说明理由．

3 . 【图形定义】有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

【问题探究】：
（1）如图①，已知矩形是“等邻边四边形”，则矩形____（填“一定”或“不一定”）是正方形；
（2）如图②，在菱形中，，，动点、分别在、上（不含端点），若，试判断四边形是否为“等邻边四边形”？如果是“等邻边四边形”，请证明；如果不是，请说明理由；并直接写出四边形的周长的最小值；
【尝试应用】：
（3）现有一个平行四边形材料，如图③，在中，，，，点在上，且，在边上有一点，使四边形为“等邻边四边形”，请直接写出此时的长．

4 . 如图，已知点P在的边上．

   

(1)过点P作边的垂线l；
(2)过点P作边的垂线段；
(3)过点O作的平行线交l于点E，比较三条线段的大小，并用“>”连接得       ，得此结论的依据是       ．

5 . 按要求完成下列作图（保留作图痕迹）
如图，在一条笔直的公路两侧，分别有，两个村庄．
   
(1)要在公路上建一公交站，使点到，两个村庄距离之和最短，画出点的位置，理由是 　         ；
(2)在公路上找出一点满足点到村庄距离最近，画出点的位置，理由是        ．

6 . 如图，是的边上一点．

(1)过点画的垂线，垂足为点．
(2)________（填“”、“”或“”），依据是________________．

7 . 已知的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为______．

8 . 如图，方格纸中有一条直线和一格点P．

(1)过点P画直线；
(2)在直线上找一点N，使得最小．

9 . 如图，网格线的交点叫格点，A、B、C都在格点上，请在方格纸上画图并回答下列问题：

(1)过点A画的垂线，垂足为G；过点A作直线，垂足为A，直线交于点H；
(2)线段的长度是点A到______的距离，线段______的长度是点H到直线的距离，所以线段的大小关系是______（用“”号连接），理由是______．

10 . （1）如图①，在中，．若点P是边上一点．则的最小值为 　　．
（2）如图②，在中，，，点E是的中点．若点P是边上一点，求的最小值．
（3）公园内有一条四边形型环湖路，如图③．若米，米，．为满足市民健身需求，现要修一条由，连接而成的步行景观道，其中点E，F分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时的长．（路面宽度忽略不计）