1 . 如图，为线段上一点，，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．

2 . 在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转.

(1)初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由；
(2)继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2.
①求证：四边形为菱形；
②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积．

3 . 如图，在和中，，点C在上．

(1)求证：．
(2)若，则______．

4 . 命题：如果两个三角形有两条边和其中一条边上的高分别相等，那么这两个三角形全等，上述命题是一个几何真命题．将其改写成己知、求证的形式，画出图形(如图)，请根据该真命题的内容完成下述填空并给出完整的证明过程．

已知：如图，在与中，，，分别为边、边上的高，_________．
求证：__________________．

5 . 如图（1），已知等边，点D，E分别是边，上的点，且，连接，交于点P．

(1)求证：；
(2)如图（2）连接，若点P恰好落在以为直径的圆上，求的度数；
(3)在条件（2）下，求的值．

6 . 如图，已知点，，，在同一直线上，，，．请你判断和的位置关系，并说明理由．

7 . 已知：如图，，．求证：．

8 . 已知：如图，在中，，点E，F分别是的中点．

(1)求证：；
(2)当______时，四边形是正方形？请证明你的结论．

9 . 如图，在矩形中，点，分别是，的中点．求证：．
   

10 . 如图，在和中，，请添加一个条件______，使得；并写出证明的过程．