1 . 如图，在正方形中，为边的中点，为对角线上的一点，连接交于点．连接，，．

   

(1)求证：．
(2)若，求证：．
(3)若，，求的长．

2 . 如图，和都是等腰三角形，且，，是的中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．2

3 . 如图，已知是等腰直角三角形，，是的中线，点E、F分别在边上，且，连接，若，则的长为______．

4 . 给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．

(1)如图①，和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°；
(2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）

5 . 如图，在中，，为的角平分线，以点A为圆心，长为半径画弧，与、分别交于点E、F，连接、．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．

6 . 如图，在正方形中，点分别是上的点，相交于点．点是的中点，若，，则的长为（       ）

A．

B．

C．2

D．

7 . 如图，正方形和正方形有一个公共顶点A，连接．求证：．

8 . 如图，在中，，过点C作，延长至点D，连接，．
求证：．

9 . 如图，已知是等边三角形，点D是边上一点，射线．

   

(1)请用无刻度直尺和圆规作线段，要求：点F在射线上，且．（保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，延长交于点P， 若， 求的度数．

10 . 如图，平行四边形，延长至，延长至，使，连结、．

   

(1)证明：；
(2)若是中点，且平分，则平行四边形满足 ___________时，四边形是矩形？请说明理由．