1 . 问题提出
如图（
），在
和
中，
，
，
，点
在内部，直线
与
交于点
．线段
，
，
之间存在怎样的数量关系？
（）先将问题特殊化如图（
），当点
，重合时，易证
（
），请利用全等探究，，之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；
（）再探究一般情形如图（），当点，不重合时，证明（）中的结论仍然成立．
问题拓展
（
）如图（），在和中，，
，
（
是常数），点
在内部，直线与交于点．直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系．
如图（
），在和中，，，，点在内部，直线与交于点．线段，，之间存在怎样的数量关系？
（
）先将问题特殊化如图（），当点，重合时，易证（），请利用全等探究，，之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；（
）再探究一般情形如图（），当点，不重合时，证明（）中的结论仍然成立．问题拓展
（
）如图（），在和中，，，（是常数），点在内部，直线与交于点．直接写出一个等式，表示，，之间的数量关系．
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2 . 如图．已知
为等腰直角三角形，
，、分别为
、
上的两点，
，连接
，将绕点逆时针旋转
得
，连接
与
交于点
．
时，若
，求
的长；
(2)如图2，连接
，
为的中点，连接
，求证：
；
(3)如图3，连接
，将绕点
顺时针旋转
得
，连接
、
、
，若
，当
周长取得最小值时，直接写出
的面积．
为等腰直角三角形，，、分别为、上的两点，，连接，将绕点逆时针旋转得，连接与交于点．
时，若，求的长；(2)如图2，连接
，为的中点，连接，求证：；(3)如图3，连接
，将绕点顺时针旋转得，连接、、，若，当周长取得最小值时，直接写出的面积．
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2024九年级下·全国·专题练习
3 . 如图，在正方形
中，点为
边上一点，连接
，将
绕点顺时针旋转得到
，在，
上分别截取
，，使
，连接，交对角线
于点
，连接并延长交于点
．若
，
，则的长为 __ ．
中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在，上分别截取，，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点．若，，则的长为 
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4 . 【问题提出】
（1）如图1，在矩形中，
，点E为的中点，点F在上，且
，连接
，试判断
是否为等腰直角三角形，并说明理由；
【问题探究】
（2）如图2，在四边形中，
，连接，
，点M、N分别为边
的中点，连接，求线段的长；
【问题解决】
（3）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图3，某工厂有一块四边形工业区，经测量
，为了方便处理污水，该工厂在边AB上取点E，上取点F、G（点F在点G的左侧，且E、F、G三点均不与端点重合），使得
，连接
并延长交于点H，在点H处安装一个污水处理设备．根据规划要求，
与
应相等，请问与是否相等？并说明理由．
（1）如图1，在矩形
中，，点E为的中点，点F在上，且，连接，试判断是否为等腰直角三角形，并说明理由；【问题探究】
（2）如图2，在四边形
中，，连接，，点M、N分别为边的中点，连接，求线段的长；【问题解决】
（3）节能环保日益受到人们的重视，水污染治理工程仍然任重道远．如图3，某工厂有一块四边形工业区
，经测量，为了方便处理污水，该工厂在边AB上取点E，上取点F、G（点F在点G的左侧，且E、F、G三点均不与端点重合），使得，连接并延长交于点H，在点H处安装一个污水处理设备．根据规划要求，与应相等，请问与是否相等？并说明理由．
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名校
5 . 如图，在中，
，
，点
是的中点，以为直角边向作等腰
，连接
，当取得最大值时，
的面积为______ ．
中，，，点是的中点，以为直角边向作等腰，连接，当取得最大值时，的面积为
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2024-05-06更新
|
102次组卷
|
2卷引用：2024年陕西省西安市曲江第一中学中考模拟数学试题
6 . 如图，将的边
绕点A逆时针旋转得到线段，连接
．
，若
，
，
，
， 求的长；
(2)如图2，点E在上，且满足
，连接
，点F为上一点，连接
交于点M，若
，
，求证
；
(3)如图3，若
，
，
，点P在直线
上且满足
，将
沿虚线
折叠使得点P的对应点
落在上，连接
与折痕交于点O，请直接写出
最小时，点O到的距离．
的边绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
，若，，，， 求的长；(2)如图2，点E在
上，且满足，连接，点F为上一点，连接交于点M，若，，求证；(3)如图3，若
，，，点P在直线上且满足，将沿虚线折叠使得点P的对应点落在上，连接与折痕交于点O，请直接写出最小时，点O到的距离．
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7 . 如图1，在
中，，
，是线段上的动点（不与点，
重合），将线段绕点顺时针旋转
得到线段，连接
，
．过点作
交的延长线于点．
，求
的大小（用含a的代数式表示）；
(2)求证：
；
(3)如图2，当
，，三点共线时，若
，
，求的长．
中，，，是线段上的动点（不与点，重合），将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．过点作交的延长线于点．
，求的大小（用含a的代数式表示）；(2)求证：
；(3)如图2，当
，，三点共线时，若，，求的长．
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2024九年级下·全国·专题练习
8 . 如图，在中，
，
，点是射线上的动点（不与点，重合），连接，过点在左侧作
，使
，连接，点，分别是，的中点，连接，，．在线段上，且点不是的中点，当
，
时，与的位置关系是 ___________，
=___________．
(2)如图2，点在线段上，当
，
时，求证：
．
(3)当，时，直线与直线交于点，若
，
，请直接写出线段
的长．
中，，，点是射线上的动点（不与点，重合），连接，过点在左侧作，使，连接，点，分别是，的中点，连接，，．
在线段上，且点不是的中点，当，时，与的位置关系是 ___________，=___________．(2)如图2，点
在线段上，当，时，求证：．(3)当
，时，直线与直线交于点，若，，请直接写出线段的长．
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9 . 综合与实践
“领航”数学研究小组在数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
实践探究：
四边形和四边形
都是正方形．
（1）连接
，如图1，试猜想与
的数量关系，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，连接BG，如图2，若
，
，
，则
__________；
（3）连接
，如图3，则与的数量关系为__________；
拓展应用：
（4）如图4，四边形和四边形都是平行四边形，
，
，且
，
，连接，则与的数量关系为__________．
“领航”数学研究小组在数学活动中研究了一个问题，请帮他们解答．
实践探究：
四边形
和四边形都是正方形．（1）连接
，如图1，试猜想与的数量关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，连接BG，如图2，若
，，，则__________；（3）连接
，如图3，则与的数量关系为__________；拓展应用：
（4）如图4，四边形
和四边形都是平行四边形，，，且，，连接，则与的数量关系为__________．
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10 . 已知为等边三角形，D为的中点，点E，F分别在
上，连接
．
(1)如图1，若
，求的长；
(2)如图2，点G在上，连接交于点H，若
，求证： 
；
(3)如图3，若
，点P在直线上，连接
，将
沿着
翻折至 所在的平面内，得到
，连接
，取
的中点T，连接
，当取最大时，求
的面积．
为等边三角形，D为的中点，点E，F分别在上，连接． (1)如图1，若
，求的长；(2)如图2，点G在
上，连接交于点H，若，求证： ；(3)如图3，若
，点P在直线上，连接，将沿着翻折至 所在的平面内，得到，连接，取的中点T，连接，当取最大时，求的面积．
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