2 . 【问题探究】
（1）如图1，已知中，，，，点D是的中点，连接，则的长为________．
（2）如图2，已知中，，P为内一点，且，，请求出的长度；
【问题解决】
（3）如图3，四边形中，，，，，，点P为四边形内一点，且始终有，连接，请问是否存在一点P，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由．

   

3 . 如图，等边的边长是，、分别是边、上的动点，且，为的中点，连接，当时，的长为____．

4 . 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的折叠与变换”为主题开展数学活动．

(1)操作判断
操作一：如图1，将矩形纸片折叠，使落在边上，点与点重合，折痕为．
根据以上操作：四边形的形状是　　　　　；
操作二：沿剪开，将四边形折叠，使边都落在四边形的对角线上，折痕为，连接，如图2．
根据以上操作：的度数为　　　　，线段的数量关系是　　　　．
(2)迁移探究
如图3，在上分别取点，使和图中的相等，连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用
在（2）的探究下，连接对角线，若图中的的边分别交对角线于点，将纸片沿对角线剪开，如图，若，，直接写出的长．

5 . 如图，在中，，D，E分别为边，上两个动点，且，连接，，当最小时，的值为_________．

   

7 . 如图，，均为等腰直角三角形，其中，，点A，E，D在同一直线，与相交于点F，G为的中点，连接，．

（1）的度数为______．
（2）若F为的中点，且，则的长为______．

8 . 如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，连接，交于点．

(1)求证：；
(2)如图，在（1）的条件下，连接，取的中点，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，求的值．

9 . 如图，点C为线段上一点，分别以，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点F，使，连接，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，的延长线恰好经过的中点G，求的长．

10 . 在矩形中，，，点在边上，将射线绕点逆时针旋转，交延长线于点，以线段，为邻边作矩形．

(1)如图1，连接，求的度数和的值；
(2)如图2，当点在射线上时，求线段的长；
(3)如图3，当时，在平面内有一动点，满足，连接，，求的最小值．