3 . 如图，在中，C是的中点，作点C关于弦的对称点D，连接并延长交于点E，过点B作于点F，若，则等于______度．

4 . 如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．

   

5 . 【问题初探】
（1）用数学的眼光观察：如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到EF，连接，，求的度数．

【类比分析】
（2）用数学的思维思考：如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由；

【学以致用】
（3）用数学的语言表达：如图3在矩形中，，点E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长度．

6 . 【教材呈现】

（1）如图1，在正方形中，是上的一点，经过旋转后得到，
①旋转中心是点______；旋转角最少是______度．
②爱动脑筋的小明，在边上取点，连接，使得，他发现：，他的发现正确吗？请你判断并说明理由．
【结论应用】
（2）①图1中，若正方形的边长为，则的周长为______（用含有的式子表示）．
②如图2，在四边形中，，，，是的中点，且，则的长______．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，，在线段上选一点（不与点重合），沿折叠，得到，在线段上取点，沿折叠，使得点与点重合，连接，分别交线段于点，若，，求的长．

7 . 如图，在菱形中，，点分别是边和对角线上的动点，且，连接相交于点M，点P是边上的一个动点，连接，则的最小值是_______．

   

8 . 综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师对某道习题进行改编：如图1，中，，，作的边上的高，将绕点 逆时针旋转得到．
（1）试判断与之间的数量关系，并说明理由．
猜想与证明：（2）如图2，连接，顺次连接的中点G，H，I，得到，判断的形状，并加以证明；
探索发现：（3）如图3，有同学发现与之间的数量关系是固定不变的，请直接写出与之间的数量关系．

9 . 如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：

   

（）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____
类比探究：
（）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断；
拓展应用：
（）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案

10 . 在中，是等边三角形，连接．

(1)如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，交于点P，且．若，求的长；
(2)如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是中点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，，E在直线上运动，将沿翻折得到，连接，G是上一点，且，O是直线上的另一个动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，直接写出此时点D到直线的距离．