1 . 已知正方形的边长为8，点是对角线上的一点．

   

(1)如图①，若点到的距离为6，则点到的距离为______；
(2)连接，过点作，交于点．
①如图②，以，为邻边作矩形．求证：矩形是正方形；
②如图③，在①的条件下，连接，求的值．

2 . 如图，在等腰中，，延长边到点D，延长边到点E，连接，若，则_____．

3 . 在菱形中，，点P是射线上一动点，以为一边向右侧作等腰，使，点E的位置随着点P的位置变化而变化．

(1)如图1，若，当点E在菱形内时，连接，求证：
(2)若，当点P在线段的延长线上时，
①如图2，探究与的数量关系；
②如图3，连接，若，，求线段的长.

4 . 如图，是等边边上的高，在、上分别取一点E、F，使，连接、．若，设，则的最小值为（       ）

   

A．

B．

C．2

D．3

6 . 如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是______．

7 . 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

特例感知：
（1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．当为等边三角形时，与的数量关系为：____________________
猜想论证：
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．
拓展应用：
（3）如图3，四边形中，，，，，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

8 . 在菱形中，，，动点M在射线上运动．

(1)如图（1），将点A绕着点M顺时针旋转，得到对应点，连接，．求证：；
(2)如图（2），在（1）条件下，若射线经过边中点E，求的值；
(3)连接，将线段绕着点M逆时针旋转一个固定角α，，点A落在点F处，射线交射线于G，若是等腰三角形，求的值．

9 . 定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”， ，，与为“同源角”．

(1)如图1和为“同源三角形”， 与为“同源角”，请你判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若“同源三角形”和上的点B，C，D在同一条直线上，且，求的值；
(3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点Q，P，连接，，，试说明是等腰直角三角形．

10 . 如图，正方形的边长为4，点O是正方形的中心，点E、F分别在边上运动，且满足，连接，过点O作交点G，则下列结论：①连接，则的周长不变；②若，则；③连接，则；④．其中正确的为（       ）

A．①②

B．①③

C．①②④

D．②③④