1 . 综合与实践
数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题．
(1)基础题：
如图1，
于点B，
于点D，P是
上一点，
．
，则
与
的关系为 ．
②若
，且
，则
．
(2)构造应用
①如图2，点E是正方形
边
上一点，
与
交于点G，连接
，请直接写出
°．
的边
向外作矩形
和矩形
，
，连接
是边上的高，延长
交
于点K，求证：K是中点，并直接写出与
的数量关系：
．
如图4，在矩形中，
，点E是边
上的动点（点E不与点A、D重合），连接
，过点E作
，交
于点F，连接，过点B作
，垂足为G，点M是边的中点．请直接写出当
值最小时
的值为： ．
数学实践课堂上，张老师从一道基础题入手，通过不断变化题目，引导学生们发现解决此类问题的图形中的基本图形，进而通过构造基本图形，解决问题．
(1)基础题：
如图1，
于点B，于点D，P是上一点，．
，则与的关系为 ．②若
，且，则 ．(2)构造应用
①如图2，点E是正方形
边上一点，与交于点G，连接，请直接写出 °．
的边向外作矩形和矩形，，连接是边上的高，延长交于点K，求证：K是中点，并直接写出与的数量关系： ．
如图4，在矩形
中，，点E是边上的动点（点E不与点A、D重合），连接，过点E作，交于点F，连接，过点B作，垂足为G，点M是边的中点．请直接写出当值最小时的值为： ．
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2 . 如图，在中，
，
，
为边上任意一点（不与点
，
重合），将线段绕点
逆时针旋转
，得到线段
，
为边
的中点，连接
，，．如图1，交于点
，若
，
，线段
的长度是______ ；
为的中点，连接
，
，
，点
为直线上一动点（不与点，重合），连接
，将
沿翻折至所在平面内，得到
，连接
，若
，当取得最小值时，线段的长度的最小值是______ ．
中，，，为边上任意一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，为边的中点，连接，，．如图1，交于点，若，，线段的长度是为的中点，连接，，，点为直线上一动点（不与点，重合），连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，若，当取得最小值时，线段的长度的最小值是
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3 . 定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如，四边形
中，若
或
，则四边形是“对补四边形”．是“对补四边形”，若
，且
时，
；
②如图2，四边形是“对补四边形”，当
，且
时，图中
，
，
之间的数量关系是
；
③如图3，在四边形中，，
平分
，则四边形是“对补四边形”；
④如图4，在四边形中，
，平分，且
时，则
．
以上结论正确的是（ ）
中，若或，则四边形是“对补四边形”．
是“对补四边形”，若，且时，；②如图2，四边形
是“对补四边形”，当，且时，图中，，之间的数量关系是；③如图3，在四边形
中，，平分，则四边形是“对补四边形”；④如图4，在四边形
中，，平分，且时，则．以上结论正确的是（ ）
| A．①② | B．②③ | C．③④ | D．②③④ |
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4 . 综合探究
如图，在中，
，点D在以为直径的圆上， 连接、， 
，点E、F分别在、的延长线上，且
，
．
是正方形．
(2)点M是
延长线上一点，连接
，若
， 求证：
．
(3)延长、交于点G，连接，若
，
，求的长．
如图，在
中，，点D在以为直径的圆上， 连接、， ，点E、F分别在、的延长线上，且，．
是正方形．(2)点M是
延长线上一点，连接，若， 求证：．(3)延长
、交于点G，连接，若，，求的长．
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5 . 如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，
，连接
交于点M．
；
(2)如图2，连接与交于点G，连接
交于点H．
①求证：
；
②当
时，求
的值；
(3)如图3，若E是的中点，以点B为圆心，为半径作
，P是上的一个动点，连接
交于点N，则
的最大值为 ．
中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M．
；(2)如图2，连接
与交于点G，连接交于点H．①求证：
；②当
时，求的值；(3)如图3，若E是
的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为 ．
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2024-06-02更新
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214次组卷
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2卷引用：2024年浙江省台州市路桥区中考数学二模试题
6 . 在学习了“特殊的平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题：
①“双直四边形”的对角线不可能相等：
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形中，点
、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若
，证明：四边形
为“双直四边形”；
(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点
，
，点在线段
上，且
，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
①“双直四边形”的对角线不可能相等：
②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；
③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．
(2)如图①，正方形
中，点、分别在边、上，连接，，，，线段、于点O，若，证明：四边形为“双直四边形”；(3)如图②，在平面直角坐标系中，已知点
，，点在线段上，且，在第一象限内，是否存在点，使得四边形为“双直四边形”，若存在；请直接写出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
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2024-06-02更新
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137次组卷
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2卷引用：山东省烟台市招远市2023-2024学年下学期九年级期中考试数学试题
7 . 某兴趣小组开展综合实践探究活动：
已知为等边三角形，点，分别在边，上，且
，，相交于点
，连接
．探究过程如下：
（1）①如图1，当点为中点时，
；
②如图2，当
时，
；
（小智积极思考，提供如下解题思路：
延长
至点，使得
，连接，．
，
，，
．
．
又
，
．
又
，
是等边三角形．……）
【类比探究】
（2）如图3，当
时，求
的值；
【拓展延伸】
（3）①当
时，直接写出的值（用含
的式子表示）；
②当点在
延长线上，点在延长线上时，且
，直线，相交于点，连接，请直接写出
的值（用含
的式子表示）．
已知
为等边三角形，点，分别在边，上，且，，相交于点，连接．探究过程如下：
（1）①如图1，当点
为中点时， ；②如图2，当
时， ；（小智积极思考，提供如下解题思路：
延长
至点，使得，连接，．，，，．．又
，．又
，是等边三角形．……）【类比探究】
（2）如图3，当
时，求的值；【拓展延伸】
（3）①当
时，直接写出的值（用含的式子表示）；②当点
在延长线上，点在延长线上时，且，直线，相交于点，连接，请直接写出的值（用含的式子表示）．
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8 . 在中，，
，
，点D，E在，边上，且，则
的最小值是_______ ．
中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是
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9 . 如图，四边形是
的内接四边形，
，点在弦上（不与端点重合），
，过点作
，垂足在延长线上，连接CE．的半径长；
(2)若
，求证：直线是的切线；
(3)过点作
交于点，交于点
，连接
，猜想
和
有怎样的数量关系，请证明你的结论．
是的内接四边形，，点在弦上（不与端点重合），，过点作，垂足在延长线上，连接CE．
的半径长；(2)若
，求证：直线是的切线；(3)过点
作交于点，交于点，连接，猜想和有怎样的数量关系，请证明你的结论．
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10 . 【问题呈现】
（1）如图①，在凸四边形中，
，
，连接
，
，某数学小组在进行探究时发现
、
和
之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以
为边作等边
，连接
，则易证
，且
，此时
，
，进而推导出、和之间的数量关系 ．
【类比探究】
（2）如图②，在凸四边形中，
，
，
，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明．
【实际应用】
（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形零件（
），如图③所示．其中
厘米，
厘米，
，垂足是，且是
的中点，且
，连接
．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系，并证明此结论．
（1）如图①，在凸四边形
中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系 ．【类比探究】
（2）如图②，在凸四边形
中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明．【实际应用】
（3）工程师王师傅在电脑上设计了一个凸四边形
零件（），如图③所示．其中厘米，厘米，，垂足是，且是的中点，且，连接．在尝试画图的过程中，王师傅发现，和之间存在一定的数量关系，请你帮王师傅直接写出，和之间的数量关系，并证明此结论．
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