1 . 如图，
中，
，点
是
的中点，过点
作
交
延长线于点
，若
，则点到点的最大距离为__________ ．
中，，点是的中点，过点作交延长线于点，若，则点到点的最大距离为
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2 . 我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形
的边
、
上，
，连接
，则
，试说明理由．
∵
，
∴把
绕点A逆时针旋转
至
，可使
与
重合．
∵
，
∴
，点F、D、G共线．
易证
，得．
(2)类比引申：
如图2，四边形中，，
，点E、F分别在边、上，．若
、
都不是直角，则当
时，是否仍有，并说明理由．
(3)联想拓展：
如图3，在
中，
，
，点D、E均在边上，且
．猜想
、
、
应满足的等量关系，并写出推理过程．
原题：如图1，点E、F分别在正方形
的边、上，，连接，则，试说明理由．
∵
，∴把
绕点A逆时针旋转至，可使与重合．∵
，∴
，点F、D、G共线．易证
，得．(2)类比引申：
如图2，四边形
中，，，点E、F分别在边、上，．若、都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由．(3)联想拓展：
如图3，在
中，，，点D、E均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程．
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2024-05-28更新
|
118次组卷
|
2卷引用：2024年广西校际联合体中考数学调考试卷（二）
3 . 如图，在矩形
中，
，
，点
为边
上的一个动点，线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，连接
，
．当线段的长度最小时，
的面积为_______ ．
中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为
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4 . （1）已知：在矩形中，E是边上的一点，
，
．
①如图1，若
，则
______
；（填写“
”“
”或“
”）
②如图2，若，判断与的数量关系，并说明理由；
（2）已知：在中，E是边上的一点，
．
①如图3，若
，，求证：
；
②如图4，若
，
，
，请直接写出 的长．
中，E是边上的一点，，．①如图1，若
，则______；（填写“”“”或“”）②如图2，若
，判断与的数量关系，并说明理由；（2）已知：在
中，E是边上的一点，．①如图3，若
，，求证：； ②如图4，若
，，，请的长．
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名校
5 . 已知：中，
，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转与
相等的度数得到，连接
．，
时，求的长：
(2)如图2，当
时，连接
，再将线段绕点
逆时针方向旋转得到
，连接
．求证：
；
(3)如图3，当，
时，点是平面内任意一点，将
沿直线
翻折得到
，点的对应点为点
，点
是边上另一动点，当
最小值时，直接写出
的最小值．
中，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转与相等的度数得到，连接． 
，时，求的长：(2)如图2，当
时，连接，再将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接．求证：；(3)如图3，当
，时，点是平面内任意一点，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，点是边上另一动点，当最小值时，直接写出的最小值．
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名校
6 . 如图，为等腰底边上的高，
，，
分别是线段
上的动点，且
，则
取最小值时，其最小值为_______ ．
为等腰底边上的高，，，分别是线段上的动点，且，则取最小值时，其最小值为
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7 . 如图，在矩形中，
点P在线段上运动（含B、C两点），连接
，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到
，连接
，则线段的最小值为（ ）
中，点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转60°到，连接，则线段的最小值为（ ）
A． | B．5 | C．3 | D．1 |
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8 . 【问题发现】
在一次数学探究课上，小明把正方形和正方形
如图摆放到一起，连接
、
，然后把正方形绕点C顺时针旋转（如图1）．
（1）小明发现，无论如何旋转，线段和的数量关系是________；直线和位置关系是________；（请你把小明的发现补充完整）
【类比探究】
（2）把正方形绕点C逆时针旋转到图2位置，请你判断：以上结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）连接
并延长交于点M（如图3），小明发现线段与线段的比值是一个定值，请求出这个定值及
的大小；
（4）已知
，
，在正方形绕点C旋转的过程中，当点D，E，G在同一条直线上时，
的长度是多少？请直接写出答案．
在一次数学探究课上，小明把正方形
和正方形如图摆放到一起，连接、，然后把正方形绕点C顺时针旋转（如图1）．（1）小明发现，无论如何旋转，线段
和的数量关系是________；直线和位置关系是________；（请你把小明的发现补充完整）【类比探究】
（2）把正方形
绕点C逆时针旋转到图2位置，请你判断：以上结论是否仍成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；【拓展应用】
（3）连接
并延长交于点M（如图3），小明发现线段与线段的比值是一个定值，请求出这个定值及的大小；（4）已知
，，在正方形绕点C旋转的过程中，当点D，E，G在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案．
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9 . （1）【基础巩固】如图1，在等腰中，
，若
，则
__________；
（2）【问题探究】如图2，在四边形中，已知
，
，
．求证：
；
（3）【解决问题】如图3是四边形休闲区域设计示意图，点P为线段
上一定点，
为该四边形休闲区域内的两条小路，且的长度相等，均为
，
．为了方便市民，现规划在四边形休闲区域外面修一个凉亭E，且满足
，同时再修两条小路
和
，是否存在一种规划方案，使得四条小路的总长度（即线段
之和）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．
中，，若，则__________；（2）【问题探究】如图2，在四边形
中，已知，，．求证：；（3）【解决问题】如图3是四边形休闲区域设计示意图
，点P为线段上一定点，为该四边形休闲区域内的两条小路，且的长度相等，均为，．为了方便市民，现规划在四边形休闲区域外面修一个凉亭E，且满足，同时再修两条小路和，是否存在一种规划方案，使得四条小路的总长度（即线段之和）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由．
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10 . 抛物线
（
，
为常数，
）顶点为，与
轴交于点， （点在点左侧），与
轴交于点，直线
过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点．
(1)若
，
．
①求点和点，的坐标；
②当点 为直线与抛物线的交点时，求
的最小值；
(2)若
，
，且
的最小值等于
时，求，的值．
（，为常数，）顶点为，与轴交于点， （点在点左侧），与轴交于点，直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段上一动点．(1)若
，．①求点
和点，的坐标；②当点
为直线与抛物线的交点时，求的最小值；(2)若
，，且的最小值等于时，求，的值．
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