1 . 问题提出：（1）如图①，在中，、分别是和的中点，连接，则与的数量关系是______，位置关系是______；
问题探究：（2）如图②，在四边形中，，，，为中点，连接，求的最大值；
问题解决：（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园，其中米，，，，由于受地理位置的影响，，根据要求，现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊，且绿色长廊的入口定为的中点，出口定为点，为了尽可能地提高观赏体验，要求绿色长廊最长，试求绿色长廊最长为多少米？

2 . 如图，已知为等腰直角三角形，斜边上有两点使得，现将绕点A逆时针方向旋转后得到，连接，则下列结论正确的是（       ）

①，②，③，④．

A．①②

B．①④

C．①②④

D．②③④

3 . 如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点A坐标为，     

(1)求抛物线解析式；
(2)点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA交y轴于点D，设P的横坐标为t，CD的长为d，求d关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
(3)当时，过点A作交抛物线于点G，连接PG，点E、F分别是的边AP、GP上的动点，且，连接AF、GE，设，求m的最小值，并直接写出当m有最小值时的正切值.

4 . 如图，和中，．

(1)如图1，若，．点A、B、D共线时，，求的度数．
(2)如图2，，，且点A、B、D不共线时，点H为线段的中点，判断与的数量关系，并证明．
(3)如图3，若，．点A、B、D不共线时，点G为的中点，绕点A旋转过程中，连接，若，，直接写出线段的最大值．

5 . 用四根一样长的木棍搭成菱形，是线段上的动点（点不与点和点重合），在射线上取一点，连接，，使．
操作探究一

（1）如图1，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，则______，=______．
操作探究二
（2）如图2，调整菱形，使，当点在菱形外时，在射线上取一点，使，连接，探索与的数量关系，并说明理由．
拓展迁移
（3）在菱形中，，．若点在直线上，点在射线上，且当时，请直接写出的长．

6 . 如图，在中，，，D为的中点，是射线上的一点，连接，，F是上一点，且满足，．

   
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)若，求的值．

7 . 如图，在四边形中，，点在上．且，若，则四边形周长最小值为_____________．

9 . 如图，在正方形中，，点F是边上一点，点E是延长线上一点，，．连接、、，与对角线相交于点G，则线段的长是（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 阅读：如图1，点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，长度为5，则根据：，得到点P到点A的最短距离为：．

解决问题：
(1)如图2，已知正方形的边长为4，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P．
①证明：．
②求点P到点C的最短距离．
(2)如图3，在平面直角坐标系中，等边的边在x轴正半轴上，点，，点D从B点出发，沿运动到O，点E同时从O点以相同的速度出发，沿运动到A，连接，交点为F，M是y轴上一点，求的最小值．