1 . 是等边三角形，点是射线上的一点（不与点，重合），连接，在的左侧作等边三角形，将线段绕点逆时针旋转，得到线段,连接．交于点．
          
(1)如图1，当点为中点时，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图2．当点在线段的延长线上时，请判断（）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
(3)当，时，请直接写出的长．

2 . 如图，在等腰和等腰中，，将绕点C逆时针旋转，连接，点O为线段的中点，连接，．
   
(1)如图1，当点B旋转到边上时，线段与线段有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由；
(2)如图2，当点B旋转到边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)若，在绕点C逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长．

3 . 如图，在半径为2的中，是直径，是弧的中点，绕点旋转与的两边分别交于（点与点均不重合），与分别交于两点．
   
(1)连接，求证：．
(2)连接，试探究；在绕点旋转的过程中，是否为定值？若是，求出的大小；若不是，请说明理由．
(3)连接，试探究：在绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

4 . 已知是正三角形，为边上一点，连接．
   
(1)如图1，在上截取点，使得，连接交于点，若，，求点到的距离；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，取的中点．连接，证明：；
(3)如图3，点为内部一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，．将沿翻折到同一平面内的，在线段上截取，连接．已知，，，直接写出的面积．

6 . 已知和都是等腰直角三角形，，连接，点F为中点．
   
(1)如图1，求证：；
(2)将绕C点旋转到如图2所示的位置，连接，过C点作于M点．
①探究和的关系，并说明理由；
②连接，求证：F，C，M三点共线．

8 . 如图，在正方形中，，，分别是，，上的点，且，连接分别交，于点，，连接．下列结论：①；②；③是的中点；④若，则．其中正确的有（       ）
   

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

9 . 【提出问题】（1）如图①，在中，，，为此三角形内的一点，且，，，将绕点顺时针旋转至，则两点间的距离为______，的度数为______．
【探究问题】（2）如图②，在四边形中，，，探究线段之间的数量关系，并写出解答过程．
   
【解决问题】（3）如图③是某圆形公园的设计示意图．已知四边形是内接四边形，为直径，，交于点，于点，于点，按设计要求，阴影部分是室内活动区，若，，则阴影部分的面积为______．

10 . 【问题情境】（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，若，则的长度是_________；
【类比探究】（2）如图2，四边形是矩形，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接，判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
【拓展提升】（3）如图3，在（2）的条件下，连接BG，求的最小值．