1 . 某数学兴趣小组在课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在中，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接．
   
(1)观察如图1，当点D在线段上时，
①与的位置关系为：___________；
②之间的数量关系为：___________；
请将结论直接写在横线上，并给予证明．
(2)数学思考
如图2，当点D在线段的延长线上时，（1）中的①，②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给于证明．

2 . 如图，正方形和正方形边长分别为和，正方形绕点C旋转，用a和b的代数式表示：___．

3 . 如图，以平行四边形的边为边，作等边和等边，连接．求证：四边形是平行四边形．
   

4 . 在菱形中，，点M在的延长线上，点E是直线上的动点，连接，将线段绕点M逆时针旋转得到线段，连接．
   
(1)如图①，当点E与点B重合时，请直接写出线段与的数量关系；
(2)如图②，当点E在上时，请写出线段之间的数量关系，并给出证明；
(3)当点E在直线上时，若，请直接写出线段的长．

5 . （1）如图1，正方形和正方形（其中），连接交于点H，请直接写出线段与的数量关系　     　，位置关系　     　；

（2）如图2，矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，连接交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）矩形和矩形，，将矩形绕点D逆时针旋转，直线交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段的长．

6 . 如图，在正方形中，E、F分别是、边上的点，，连接，交于点G，求证：．
   

7 . 已知的两边分别与相切于点A，B，的半径为r．

(1)如图1，点C在点A，B之间的优弧上，，求的度数；
(2)如图2，点C在圆上运动，当最大时，要使四边形为菱形，的度数应为多少？请说明理由；
(3)若交于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．

8 . 如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．

   

(1)如图1，当点M、N分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系；
(2)如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；
(3)如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长．

9 . 如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（       ）

   

A．①②③

B．①③④

C．①②④

D．①②③④

10 . 在等边中，将扇形按图1摆放，使扇形的半径、分别与、重合，，，固定等边不动，让扇形绕点O逆时针旋转，线段也随之变化，（如图2）设旋转角为．

(1)当时，旋转角 _________度．
(2)当A、C、D三点共线时，求的长．
(3)P是线段上任意一点，在扇形的旋转过程中，请直接写出线段的最大值与最小值．