名校
1 . 如图，在四边形
中，对角线
与
相交于点
，垂直平分，点
是
上一点，且．
．若点是的中点，
，
，则
的值为______ ．
中，对角线与相交于点，垂直平分，点是上一点，且．．若点是的中点，，，则的值为
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2 . 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形
的顶点A的坐标为
，点B为第二象限的点，则点B的坐标为______ ．
的顶点A的坐标为，点B为第二象限的点，则点B的坐标为
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名校
3 . 如图，
中，
，
、
分别从点
、点
同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点的运动速度为
，点的运动速度为
．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为
．
(2)当
为等边三角形时，求t的值．
(3)点M、N运动过程中，点M、N能否与中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间t，若不能请说明理由．
中，，、分别从点、点同时出发，按顺时针方向沿三角形的边运动．已知点的运动速度为，点的运动速度为．当点第一次到达点时，、同时停止运动．设运动时间为．
(2)当
为等边三角形时，求t的值．(3)点M、N运动过程中，点M、N能否与
中的某一顶点构成等腰三角形，若能直接写出对应的时间t，若不能请说明理由．
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4 . 已知，
是的中线，过点
作
．
，
交于点
，连接
．求证：四边形
是平行四边形；
(2)
是线段上一点（不与点
重合），
交于点，交
于点，连接．如图
，四边形
是平行四边形吗？请说明理由．
是的中线，过点作．
，交于点，连接．求证：四边形是平行四边形；(2)
是线段上一点（不与点重合），交于点，交于点，连接．如图，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
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5 . 如图，在平面直角坐标系中，直线与
轴交于点
与
轴交于点
，过点的直线交轴正半轴于C，且的面积为56．点
为线段
上一点且横坐标为
，点为轴上一动点，连结
，将线段绕着点逆时针转
得到线段
，连结
．的坐标及直线
的函数表达式；
(2)在点运动的过程中，若
的面积为
，求此时点的坐标；
(3)设点的坐标为
；
①用
表示点的坐标；
②在点运动的过程中，若中顶点和顶点始终在的内部（不包括边界），请直接写出满足条件的的取值范围．
与轴交于点与轴交于点，过点的直线交轴正半轴于C，且的面积为56．点为线段上一点且横坐标为，点为轴上一动点，连结，将线段绕着点逆时针转得到线段，连结．
的坐标及直线的函数表达式；(2)在点
运动的过程中，若的面积为，求此时点的坐标；(3)设点
的坐标为；①用
表示点的坐标；②在点
运动的过程中，若中顶点和顶点始终在的内部（不包括边界），请直接写出满足条件的的取值范围．
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6 . 【操作】如图①，矩形纸片中，
，点在上，点
在
上，
，将纸片沿
翻折，使顶点落在矩形内，对应点为
，
的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为
，折痕为
．猜想
之间的位置关系为________；
【探究】如图②，将矩形纸片任意翻折，折痕为(在上，在上)，使顶点落在矩形内，点的对应点为
，
的延长线交边于点，再将纸片的另一部分翻折，使点的对应点落在上，折痕为．
①若
，求证：
；
②当
，
，
，
时，直接写出
的长．
中，，点在上，点在上，，将纸片沿翻折，使顶点落在矩形内，对应点为，的延长线交直线于点，再将纸片的另一部分翻折，使顶点落在直线上，对应点为，折痕为．猜想之间的位置关系为________；【探究】如图②，将矩形纸片
任意翻折，折痕为(在上，在上)，使顶点落在矩形内，点的对应点为，的延长线交边于点，再将纸片的另一部分翻折，使点的对应点落在上，折痕为．①若
，求证：；②当
，，，时，直接写出的长．
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7 . 如图1，正方形的对角线，相交于点，是
上一点，连接
，过点作
直线
，垂足为，直线
与直线相交于点．
．(2)如图2，当点
在的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，给出证明．若不成立，说明理由．
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8 . 如图，将矩形沿过点A的直线折叠，使点B恰好与其对角线的中点O重合，折痕与边交于点E．延长
交于F，连接
．
(2)判断四边形
的形状，并说明理由；
(3)若
，则的长为____________．
沿过点A的直线折叠，使点B恰好与其对角线的中点O重合，折痕与边交于点E．延长交于F，连接．
(2)判断四边形
的形状，并说明理由；(3)若
，则的长为____________．
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9 . 【问题呈现】数学社团课上，同学们遇到这样一个问题：如图①，为等腰直角三角形，
，点为边上一动点，连接
将线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段
，当点从点运动到点时，试探究点的运动轨迹．，，易证
，且
，通过证明
，可以确定点的运动轨迹为端点与重合且垂直于的线段，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明：
当点不与点重合时，
,
当点与点重合时，
易知
，且
．故，此时点与点重合．
综上，点的运动轨迹为经过点且垂直于的线段．
【问题延伸】如图③，为等腰直角三角形，，
，点为线段上一动点，在点右侧作线段，使
，且
，当点从点运动到点时，试探究点的运动路径的长为______．
【能力提升】如图④，在正方形中，
，点为边上一点，且
，为正方形对角线的交点，点为线段上的一个动点，直角三角形
中
，且
，求点从点运动至点时，点距离点的最短距离为______．
为等腰直角三角形，，点为边上一动点，连接将线段绕点沿逆时针方向旋转得到线段，当点从点运动到点时，试探究点的运动轨迹．
，，易证，且，通过证明，可以确定点的运动轨迹为端点与重合且垂直于的线段，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．证明：
当点不与点重合时，| 证明过程缺失 |
,当点与点重合时，易知
，且．故，此时点与点重合．综上，点
的运动轨迹为经过点且垂直于的线段．【问题延伸】如图③，
为等腰直角三角形，，，点为线段上一动点，在点右侧作线段，使，且，当点从点运动到点时，试探究点的运动路径的长为______．【能力提升】如图④，在正方形
中，，点为边上一点，且，为正方形对角线的交点，点为线段上的一个动点，直角三角形中，且，求点从点运动至点时，点距离点的最短距离为______．
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10 . 如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接
，延长
交于点，连接，
．
是矩形；
(2)若
，
，则四边形
的周长为______．
中，为线段的中点，连接，延长交于点，连接，．
是矩形；(2)若
，，则四边形的周长为______．
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