5 . 下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条线段的三等分点”的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
      
如图1，①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；②连接，，，作射线；③以D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E；④连接，分别交，于点F，点H．点F即为的三等分点（即）．
任务：
(1)填空：四边形的形状是______，你的依据是______；
(2)在证明点F为的三等分点时，同学们有不同的思路．
小明：我是先证明，再通过证明得到结论的；
小亮：我是通过证明—次三角形相似得到结论的；
小颖：我是通过作辅助线……；
请你选择一种自己喜欢的思路给出证明；
(3)如图2，若，，将绕着点C逆时针旋转，当点H的对应点落在直线上时，请直接写出的长．

6 . 小宇将一个含的三角板绕着等边中边上的一点E旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边、交于点D、点F，当时，得到图1，作点E关于的对称点G，连接，．

   

(1)请在图1中补全图形，则与的数量关系是______，的度数为______．
(2)①证明；
②证明四边形是平行四边形．
(3)当，时，直接写出的度数．

8 . 【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图，在中，，点和点分别是斜边上的动点，并且满足，分别过点和点作边的垂线，垂足分别为点和点，那么的值是一个定值．
问题：若时，值为___________ ；
【操作探究】如图，在中，；
爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当时，的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图进行证明，并用含和的式子表示的值．
【解决问题】如图，在菱形中，若、分别是边、上的动点，且，作，垂足分别为、，则的值为__________ ．
   

9 . 数学兴趣小组活动中，刘老师展示一个问题情境，供同学们探究：
问题情境：如图，中，，点P为斜边上不与A，B重合的一个动点，过点P作于点Q，分别过P，Q作，交于点D，请讨论可能发现的结论．
以下是讨论过程：

小明：我发现四边形是平行四边形． 理由：由作图可知，，∴四边形是平行四边形． 小亮：我和小明想法一样，但还可以用全等三角形来解决． 理由：∵，∴． 又∵，∴．∴． ∴四边形是平行四边形． 小红：我发现如果点D恰好落在上时，点P为的中点．

请仔细阅读讨论过程，完成下述任务：
(1)小明推导四边形是平行四边形的依据是              ，小亮推导四边形是平行四边形的依据是              ，其中小亮得出的依据是              （填序号）；

(2)当点D恰好落在上时，请证明小红的结论；
(3)若的中点为E，当点E恰好落在一边的垂直平分线上时，直接写出此时的长．