1 . 综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知
中，
，
．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到
（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为
，设线段
与
相交于点M，线段
分别交，
于点O，N．
时，判断
的形状并说明理由；
探究规律：（2）如图3，在绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段
始终等于线段
，请你证明这一结论；
拓展延伸：（3）①请求出当
是等腰三角形时旋转角
的度数；
②在图3中，作直线
，
交于点P，直接写出当
时旋转角的度数．
中，，．将从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为，设线段与相交于点M，线段分别交，于点O，N．
时，判断的形状并说明理由；探究规律：（2）如图3，在
绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论；拓展延伸：（3）①请求出当
是等腰三角形时旋转角的度数；②在图3中，作直线
，交于点P，直接写出当时旋转角的度数．
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2 . [理解探究]
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为
，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形，
如图1，在等腰直角中，
，
，过点C作直线，
于D，
于E，求证∶
(2)[问题探究]
如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，
，
，求的长
(3)[拓展延伸]
如图3，在等腰直角中，
，，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A坐标为
，点B是第一、第三象限的角平分线
上的一个点，求点C的坐标
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为
，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形，
如图1，在等腰直角
中，，，过点C作直线，于D，于E，求证∶ (2)[问题探究]
如图2，在等腰直角
中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长(3)[拓展延伸]
如图3，在等腰直角
中，，，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A坐标为，点B是第一、第三象限的角平分线上的一个点，求点C的坐标
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2024-01-19更新
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156次组卷
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3卷引用：广东省 廉江市第八中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
3 . 在四边形
中，E是上一点，连接
，将
沿翻折得到
，
落在对角线上．将
绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N．是正方形，且旋转角小于时，会有
，请你证明这个结论；
(2)【再探特例】如图2，当四边形是菱形，且旋转角小于时，若
．连接
交
于点G．求
的长；
(3)【拓展应用】如图3，当四边形是矩形时，当M到点A、点D的距离，两段距离比为
时，请直接写出
的值．
中，E是上一点，连接，将沿翻折得到，落在对角线上．将绕点A旋转，使得落在直线上，点C的对应点为M，点E的对应点为N．
是正方形，且旋转角小于时，会有，请你证明这个结论；(2)【再探特例】如图2，当四边形
是菱形，且旋转角小于时，若．连接交于点G．求的长；(3)【拓展应用】如图3，当四边形
是矩形时，当M到点A、点D的距离，两段距离比为时，请直接写出的值．
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4 . 综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示：中，，点D为线段
上的一动点（点D不与A，B重合），以
为边作等腰
，
，
，连接
．解答下列问题：
【观察发现】
①如图11−1，当
时，线段，的数量关系为 ，
°；
【类比探究】
②如图11−2，当
时，试探究线段与的位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图11−3，四边形中，
，
，连接，若
，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）．
中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题：【观察发现】
①如图11−1，当
时，线段，的数量关系为 ， °；【类比探究】
②如图11−2，当
时，试探究线段与的位置关系，并说明理由；【拓展延伸】
（2）如图11−3，四边形
中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）．
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5 . 综合与实践——探索图形平移中的数学问题：
问题情境：如图1，已知是等边三角形，
，点
是边的中点，以为边，在外部作等边三角形
．
操作探究：将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点
、、
的对应点分别为点
、
、
；
（1）如图2，善思小组的同学画出了
时的情形，求此时平移的距离．
（2）如图3，点
是的中点，在平移过程中，连接
交射线于点
，敏学小组的同学发现
始终成立，请你证明这一结论．
拓展延伸：
（3）在平移的过程中，直接写出以、、为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是 ．
问题情境：如图1，已知
是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形．操作探究：将
从图1的位置开始，沿射线方向平移，点、、的对应点分别为点、、；（1）如图2，善思小组的同学画出了
时的情形，求此时平移的距离．（2）如图3，点
是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立，请你证明这一结论．拓展延伸：
（3）在
平移的过程中，直接写出以、、为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是 ．
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2023-12-05更新
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182次组卷
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5卷引用：广东省佛山市顺德区第一中学西南学校2022-2023学年八年级下学期第二次段考5月数学试题
6 . 综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师出示了两张全等的三角形纸片
，其中 
，
，
．如图
，三角形纸片
与三角形纸片
重合，然后将纸片
绕点
顺时针旋转（旋转角不超过），
与交于点
，与交于点
．
操作与计算
（）如图
，当
时，求
的长．
深度思考
（）“雄鹰”小组受到了启发，提出了问题：如图
，当 
时，试猜想与
的数量关系，并说明理由．
拓展探究
（）“智慧”小组进一步研究．如图
，过点作的平行线交于点
，过点作的平行线交于点
，连接
．当 
时，直接写出四边形
的面积．
问题情境
在综合与实践课上，老师出示了两张全等的三角形纸片
，其中 ，，．如图，三角形纸片与三角形纸片重合，然后将纸片绕点顺时针旋转（旋转角不超过），与交于点，与交于点．操作与计算
（
）如图，当时，求的长．深度思考
（
）“雄鹰”小组受到了启发，提出了问题：如图，当 时，试猜想与的数量关系，并说明理由．拓展探究
（
）“智慧”小组进一步研究．如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，连接．当 时，直接写出四边形的面积．
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2024-04-23更新
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143次组卷
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3卷引用：2024年广东省惠州市仲恺高新区中考二模数学试题
名校
7 . 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
（）如图，在正方形中，点
分别是
上的两点，连接
，
，则
的值为__________．
（）如图，在矩形中，
，
，点是上的一点，连接
，且
，则
的值为__________；
【类比探究】
（）如图，在四边形中，
，点为上一点，连接，过点作的垂线交
的延长线于点，交的延长线于点，求证：
．
【拓展延伸】
（）如图，在
中，
，
，
，将沿翻折，点落在点处得
，点分别在边上，连接，，
．求的值．
（
）如图，在正方形中，点分别是上的两点，连接，，则的值为__________．（
）如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，且，则的值为__________；【类比探究】
（
）如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：．【拓展延伸】
（
）如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点分别在边上，连接，，．求的值．
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2024-04-12更新
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373次组卷
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4卷引用：2024年广东省阳江市阳春市中考一模数学试题
2024年广东省阳江市阳春市中考一模数学试题2023学年贵州省铜仁市碧江区铜仁学院附属中学九年级下学期第5次模拟预测题（已下线）考前特训03 几何解答题探究综合压轴题-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）2024年山东省滕州市育才中学学业水平考试模拟练习数学试题
名校
8 . 综合与实践
【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线
，分别交边，于点G，H．试探究线段
与
的数量关系．
小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下．
【观察猜想】
小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究．
（1）如图1，若E是对角线的中点，则线段与的数量关系为______．
【推理验证】
（2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）已知正方形的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段
的长．
【问题提出】数学课上，老师给出了这样一道题：如图，在正方形
中，E是对角线上一动点，过点D作的垂线，过点C作的垂线，两垂线相交于点F，作射线，分别交边，于点G，H．试探究线段与的数量关系．小明在解决这道题时，借助“从特殊到一般”的方法进行了探究，过程如下．
【观察猜想】
小明先对点E在特殊位置时的图形进行了探究．
（1）如图1，若E是对角线
的中点，则线段与的数量关系为______．【推理验证】
（2）小明认为当点E是对角线AC上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，请你就图2的情形判断他的说法是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）已知正方形
的边长为3，以点E为线段的三等分点时，请直接写出线段的长． 
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2024-03-22更新
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289次组卷
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5卷引用：2024年广东省深圳市罗湖区翠园中学中考模拟数学试题
2024年广东省深圳市罗湖区翠园中学中考模拟数学试题2024年河南省商丘市柘城县实验中学一模数学模拟试题（已下线）重难点05 几何压轴综合(8大题型+满分技巧+限时分层检测)-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）2024年海南省琼海市中考二模考试数学试题2024年广西初中学业水平考试数学全真模拟试题（十一）
名校
9 . 如图1，四边形是正方形，点是边的中点，
，且
交正方形外角平分线于点．与的数量关系___________（提示：取的中点，连接
）；
(2)［类比探究］如图2，若把条件“点是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；
(3)［拓展应用］如图3，若把条件“点是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由．
是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角平分线于点．
与的数量关系___________（提示：取的中点，连接）；(2)［类比探究］如图2，若把条件“点
是边的中点”改为“点是边上的任意一点”，其余条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由；(3)［拓展应用］如图3，若把条件“点
是边的中点”改为“点是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么（1）中的结论是否成立呢？若成立写出证明过程，若不成立请说明理由．
您最近一年使用：0次
2023-08-24更新
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188次组卷
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4卷引用：广东省韶关市新丰县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
10 . 在中，
．
(1)【特例感知】如图1，如果平分
交于点D，，垂足E在的延长线上，则线段和有怎样的数量关系？请说明理由；
(2)【问题探究】如图2，点D是边上一点，连接，过点A作
于点E，过点C作
，交的延长线于点F，则线段
和有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)【拓展应用】如图3，点D是边上一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接，若
，则
．
中，． (1)【特例感知】如图1，如果
平分交于点D，，垂足E在的延长线上，则线段和有怎样的数量关系？请说明理由；(2)【问题探究】如图2，点D是边
上一点，连接，过点A作于点E，过点C作，交的延长线于点F，则线段和有怎样的数量关系？请说明理由；(3)【拓展应用】如图3，点D是边
上一点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接，若，则 ．
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