1 . 【问题背景】
如图，在中，，．是边上一点（不与点重合且），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．

【问题探究】（1）如图1，求的度数；
【拓展延伸】（2）如图2，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，过点作交于点，交于点．若，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

4 . （1）问题背景．
如图1，在四边形中，，，、分别是线段、线段上的点．若，试探究线段、、之间的数量关系．
   
小明同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明．再证明，可得出结论，他的结论应是____________．
（2）猜想论证．
如图2，在四边形中，，，在线段上、在线段延长线上．若，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．
      
（3）拓展应用．
如图3，在四边形中，，，AD平分，，，且，求四边形的面积．
   

6 . 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，．

特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为______；
探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）当是等腰三角形时，求旋转角的度数．

8 . 【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，在正方形中，是射线上一动点（点，不重合），连接，做，与正方形的外角的平分线交于点．
   
【思考尝试】（1）如图1，当是线段的中点时，观察并猜想与的数量关系为______；
【实践探究】（2）小明同学受问题（1）启发，并提出新的问题：如图2，在正方形中，若是射线上一动点（点，不重合），那么问题（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展迁移】（3）小颖同学深入研究小明同学提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，当在线段上运动时（点，不重合），连接、．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值．

9 . [问题背景]如图，在中，点D为边上一点，连接并延长到点E，使得，过点E作交于点F，交于点G．
   
[问题探究]（1）试说明：点D是的中点；
[问题拓展]（2）若．
①，，求的长；
②，，求的度数．