1 .
【建立模型】（1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，，求证：；
【类比迁移】（2）如图2，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，直线交轴于点．
①求点的坐标；②求直线的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3．抛物线与坐标轴交于，，三点，已知点，连接，抛物线上是否存在点使，若存在，求出点的横坐标．

2 . 已知是等腰直角三角形，，，点D在线段上运动．

(1)如图1，连接，过点C作交的延长线于点E．过点A作交于点F，若，，求的长；
(2)如图2，点H是边上一点，连接，过点A作交延长线于点G．若，将绕点D顺时针旋转得到线段，交于点K，连接，过点C作交于点N，垂足为P．求证：；
(3)如图3，若，连接并将绕点D逆时针旋转得到线段，连接、，取中点T，点R在上且，连接，直接写出当取得最小值时的面积．

3 . 如图，中，，的角平分线和的外角平分线相交于点．过点作交的延长线于点，交的延长线于点，连接交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ）

A．②③④

B．①②③④

C．①②③

D．①②④

4 . 如图1是超市的手推车，如图2是其侧面示意图，已知前后车轮半径均为，两个车轮的圆心的连线与地面平行，与地面平行，，车轮圆心在的延长线上，支架．支架，测得，，，，并测得扶手前端到地面的距离为．则点与点的距离为______；手推车内装有简易宝宝椅，为小坐板，打开后，椅子的支点到点的距离为，，，则坐板的宽度为______．
   

5 . 如图，在锐角中，，，分别是边上的高线，与交于点F，则的最大值为（       ）

A．1

B．

C．

D．

6 . （1）操作思考：如下图，在平面直角坐标系中，等腰直角的直角顶点在原点，将其绕着点旋转，若顶点恰好落在点处．则：

①的长为______；②点的坐标为______；（直接写结果）
（2）拓展研究：如下图，在直角坐标系中，点，过点作轴，垂足为点，作轴，垂足为点，是线段上的一个动点，点是直线上一动点，是否存在以点为直角顶点的等腰直角，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）感悟应用：如下图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像交轴于点，交轴于点，若将直线绕点旋转后与轴交于点，则点的坐标为______．（直接写出答案）

7 . 如图，在四边形中，为对角线，，，，，，，则对角线AC的长为________．

8 . 如图，在正方形中，连接对角线，在线段上，连接交于点，，，，则__________．

9 . 【推理】如图①，在边长为8的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，延长交于点，求证：．
【运用】如图②，在【推理】条件下，延长交于点，若点是的中点，则线段______．
【拓展】如图③，在【推理】条件下，交于点，连结，则的最小值是______．