1 . 【问题提出】（1）如图，在中，，，平分交边于点，点为边上的一个动点，连接，则线段长的最小值为________．
【问题探究】（2）如图2，在中，，，点为边的中点，且，的两边分别交、于点、．求四边形的面积．
【问题解决】（3）为实现全民健身的需要，某房地产商在进行居民小区设计时考虑在小区内修建一片室内健身休闲区．如图，为小区的大致示意图，设计师将小区分成、、和四部分，其中在、和三区建造三栋居民楼，在区域修建室内健身休闲区．根据设计要求：，，点、点、点分别在边、边和边上，且点为边的中点，，为了尽可能给居民更加宽阔的健身空间，全民健身区的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．
   

4 . 已知：等边中，D为延长线上一点，连接，点E在上，连接，．

(1)如图1，连接，求证：平分；
(2)如图2，点F为线段上一点，连接交于点G，若点G为中点，求证：；
(3)如图3，点F为线段上一动点，作F关于的对称点，连接．交于点，点D在的延长线上运动，始终满足，连接交于点G，当取得最大值时，此时，求整个运动过程中的最小值．

5 . 一副三角板如图摆放，点是45°角三角板的斜边的中点，．当30°角三角板的直角顶点绕着点旋转时，直角边，分别与，相交于点，．在旋转过程中有以下结论：①；②四边形有可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变：⑤面积的最大值为2，其中正确的个数是（       ）

A．2

B．3

C．4

D．5

7 . 已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿翻折，得到．

(1)直接写出正方形的边长；
(2)如图1，若点D为中点，延长交于点H．
①求的长；
②连并延长交于点F，求的长；
(3)如图2，若点G为上一点，且，点M为中点，连接．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长．

8 . 根据以下素材，探索完成任务．

如何确定箭头形指示牌
任务1	某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图（平放在地面）．该指示牌是轴对称图形，由长方形和等腰三角形组成，且点四点共线，和都是直角．小聪测量了点到的距离为米，米，米．
任务2	因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形和等腰三角形（两种图形无缝隙拼接，不考虑厚度），且甲材料的单价为每平方米元，乙材料的单价为每平方米元．

(1)求出点到的距离．
(2)小聪说：“如果我设计的方案中，那么最高点到地面的距离与相等”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
(3)小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过元，请你确定长度的最大值．

9 . 如图，在中，，直线l经过边的中点D，与交于点M，分别过点A、C作直线l的垂线，垂足为E、F，则的最大值为（       ）
       

A．

B．

C．

D．

10 . 在中，．E为线段上一点（不与A、B重合），D是平面上一点，直线与交于点F．
   
(1)如图1，D在的延长线上，，连接，，求的度数；
(2)如图2，D在外，，连接，求证：；
(3)如图3，D在内，．过F作直线l，l与线段相交，，垂足分别为P，Q．若，请直接写出的最大值．