1 . 如图，在长方形纸片中，，，点为上一点，将沿翻至，交于点，交于点，且，则的长度是__________．

   

2 . 如图，正方形的对角线交于点O，点E是线段上一点，连接，作于点，交于点．

(1)求证：；
(2)若，是的角平分线，求的长．

3 . 已知，和都是以为斜边的直角三角形，连接．

(1)如图1，和在两侧时，若，过点D作交CA的延长线于点E．．
①猜想：______；（请填入“＞”、“＝”或“＜”）
②证明：；
(2)如图2，和在同侧时，若，猜想线段AC、BC、CD三者之间的数量关系，并说明理由．

4 . 如图，已知点O为对角线的中点，过点O的直线与，分别相交于点E，F，连接，．求证：四边形是平行四边形．

5 . 如图，平面直角坐标系中，，，，，直线过A点，且与y轴交于D点．

(1)求点A、点B的坐标；
(2)试说明：；
(3)若点M是直线上的一个动点，在x轴上是否存在另一个点N，使以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 如图，平面直角坐标系中，，．为矩形对角线的中点，过点的直线分别与、交于点、．

(1)求证：；
(2)设，的面积为，求与的函数关系式；
(3)若点在坐标轴上，平面内存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标．

7 . 如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列五个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论共有（     ）

A．5个

B．4个

C．3个

D．2个

8 . 如图、为一块直角三角形纸片，．

【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想．
（1）如图1，现将纸片沿直线折叠，使直角边落在斜边上，的对应点为，若，求的长．
【学以致用】
（2）如图2，若将直角沿折叠，点与中点重合，点分别在，上，则之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．

9 . 如图，在中，，为的中点，过作，使交于点，交于点，连接，求证：．

10 . 如图，将矩形放置在直角坐标系中，线段的长满足．

(1)点的坐标为_________；
(2)将矩形沿对角线翻折，使点落在点处，交于点，如图点是中点，连接，求的长及点的坐标；
(3)在平面内是否存在点，使以为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．