1 . 综合与实践
问题情境：如图1，正方形和正方形有公共顶点，，，现将正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为，连接，．
   
(1)猜想证明：猜想图2中与的数量关系并证明；
(2)探究发现：如图3，当时，连接，延长交于点，求证：垂直平分；
(3)拓展延伸：在旋转过程中，当的面积最大时，直接写出此时旋转角的度数和的面积．

2 . [综合与实践]问题情境：数学活动课上，老师提出如下问题；将两个全等的矩形和按图所示方式摆放，其中点在上，点在上，与交于点．求证：垂直平分线段．

(1)[数学思考]请你解决老师提出的问题；
(2)[问题解决]将矩形以点为中心，顺时针旋转到图所示位置，与交于点．则老师所提问题的结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)[拓展探究]如图，在矩形以为中心，顺时针旋转的过程中，当点恰好落在边上时，点恰好落在边上，若，，则的长度值为___________．

4 . 问题情境：已知，如下图，在梯形中，直线l，直线l，垂足分别为D，E，点C在直线l上，，．

猜想证明：
(1)如图①，试判断的形状，并说明理由；
解决问题：
(2)如图①，若，求梯形的面积；
拓展提升：
(3)如图②，设梯形的周长为m，边中点O处有两个动点P，Q同时出发，沿着的方向移动，点Q的速度是点P速度的3倍，当点P第一次到达点B时，两点同时停止移动．
①两点同时停止移动时，点Q移动的路程与点P移动的路程之差____________．（填“>”“<”或“=”）
②移动过程中点P能否和点Q相遇？如果能，则用直线a连接相遇点和点O，并探索直线a与的位置关系，写出推理过程：如不能，说明理由．

5 . 下面是小萱同学的数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务．
筝形
在学习完平行四边形及特殊的平行四边形后，我发现生活中还有一种常见的特殊四边形−−筝形，可以类比平行四边形的研究路径“定义−性质−判定”研究筝形．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，四边形是筝形，其中，

   

性质：从整体看，筝形是轴对称图形，对称轴是对角线AC所在的直线；从局部看，应从边、角、对角线等角度探究筝形的性质．我发现，筝形有如下性质：
性质1：两组邻边分别相等，即．（由定义可得）
性质2：对角线垂直平分对角线．
性质3：一组对角相等，即．
性质4：筝形的面积等于两条对角线乘积的一半．
判定：与平行四边形类似，筝形的性质与判定也具有互逆关系．
判定1：……
任务：
(1)填空：性质2的证明过程如下．
已知：如图2，四边形是筝形，．

   

求证：垂直平分．
证明：连接．

∴点A在的垂直平分线上．（依据1：                ）

∴点C在的垂直平分线上．
∴垂直平分．（依据2：                                     ）
(2)请你借助图3对性质3进行证明．（要求：写出已知、求证和证明过程）

   

(3)图4的方格纸中每个小正方形的边长都为1，请在方格纸中画出一个顶点都在格点上且面积为6的筝形．

   

6 . 综合与实践
问题情境：数学课上，老师带领同学们“玩转直角三角形”的探究活动，老师将全等的两张直角三角形纸片按如图1所示在同一平面内摆放，点A与点F重合，点C与点E重合．已知：，，．
初步探究：
(1)“勤思小组”进行了如下操作: 保持不动，将绕点A顺时针方向旋转，如图2所示，旋转角度为，直线DE与直线交于点G，在旋转过程中，发现始终有，请你帮他们写出证明过程．
深入探究：
(2)“敏学小组”在“勤思小组”的操作方式下继续探究，提出问题：
①如图2，若连接，请判断线段与的关系，并说明理由．
②如图3，当旋转角度时，的边与边重合，则的面积为______．
   

8 . 阅读与证明
三大作图问题之三等分角三等分任意角是古希腊学者们于公元前5世纪提出并研究的三大作图问题之一．两千多年以来，数学家们为此耗费了许多心血．直到1837年，法国数学家闻脱兹尔证明了，只使用直尺和圆规无法三等分一个任意角，至此人类才走出了这座数学迷宫，在探究过程中发现，有些特殊度数的角如 角， 角， 角等可用尺规三等分，任意角采用特殊的工具也可三等分．
如图（1），，下面是两种三等分角的方法．

(1)阿基米德创设的方法是：在图（2）中，预先在直尺上作了一个记号点P，点O为直尺的端点，以B为圆心，为半径作半圆，与边和分别交于点N和M；移动直尺，使直尺上的点O在边的反向延长线上移动，点P在圆周上，当直尺正好经过点N时，过点B画的平行线．求证：；

(2)用“有刻度的勾尺”的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点P，于点Q，．画直线，并且与之间的距离等于，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使勾尺的边经过点B，同时让点R落在边上．求证：．