名校
1 . 下面是小萱同学的数学周记,请仔细阅读并完成相应的任务.
筝形
在学习完平行四边形及特殊的平行四边形后,我发现生活中还有一种常见的特殊四边形−−筝形,可以类比平行四边形的研究路径“定义−性质−判定”研究筝形.
定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图1,四边形是筝形,其中,
性质1:两组邻边分别相等,即.(由定义可得)
性质2:对角线垂直平分对角线.
性质3:一组对角相等,即.
性质4:筝形的面积等于两条对角线乘积的一半.
判定:与平行四边形类似,筝形的性质与判定也具有互逆关系.
判定1:……
任务:
(1)填空:性质2的证明过程如下.
已知:如图2,四边形是筝形,.
证明:连接.
∴点A在的垂直平分线上.(依据1: )
∴点C在的垂直平分线上.
∴垂直平分.(依据2: )
(2)请你借助图3对性质3进行证明.(要求:写出已知、求证和证明过程)
筝形
在学习完平行四边形及特殊的平行四边形后,我发现生活中还有一种常见的特殊四边形−−筝形,可以类比平行四边形的研究路径“定义−性质−判定”研究筝形.
定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图1,四边形是筝形,其中,
性质:从整体看,筝形是轴对称图形,对称轴是对角线AC所在的直线;从局部看,应从边、角、对角线等角度探究筝形的性质.我发现,筝形有如下性质:
性质1:两组邻边分别相等,即.(由定义可得)
性质2:对角线垂直平分对角线.
性质3:一组对角相等,即.
性质4:筝形的面积等于两条对角线乘积的一半.
判定:与平行四边形类似,筝形的性质与判定也具有互逆关系.
判定1:……
任务:
(1)填空:性质2的证明过程如下.
已知:如图2,四边形是筝形,.
求证:垂直平分.
证明:连接.
∴点A在的垂直平分线上.(依据1: )
∴点C在的垂直平分线上.
∴垂直平分.(依据2: )
(2)请你借助图3对性质3进行证明.(要求:写出已知、求证和证明过程)
(3)图4的方格纸中每个小正方形的边长都为1,请在方格纸中画出一个顶点都在格点上且面积为6的筝形.
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2 . 下面是小文同学的一则数学日记,请你认真阅读并完成下列任务.
任务:
(1)上述材料中,序号“①”“②”处所对应的内容依次为:①______,②______;
(2)补全材料中命题的证明过程;
应用:
(3)如图2,在筝形中,,,,点M,N是筝形边上的两个动点(不与C,D重合)当四边形是筝形时,请直接写出它的正对角线的长.
2024年×月×日 探索筝形的性质 对于几何图形,通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究,且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开.以等腰三角形为例,其定义、性质、判定都通过它的边、角、底边上的中线、高线、顶角平分线的特征来体现.类似地,这样的方法可以用于研究其他几何图形,如筝形.1.定义:如图1,在四边形中,,,我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.与叫做等形的正对角,与是它的对角线,它们交于点O,其中叫做筝形的正对 根据定义可以进行如下推理: 推理1:∵四边形是筝形,①∴ ① . 推理2:在四边形中,,, ② . 2.性质:从整体看,等形是轴对称图形,它的对称轴是正对角线所在直线.由此,可以猜想得到等形局部元素的性质如下: 从“角”的角度,可以发现等形的正对角相等. 从“对角线”的角度,可以发现等形的正对角线垂直平分另一条对角线.这个命题的证明如下: 已知:如图1,筝形中,,. 求证:垂直平分. 证明:… 3.判定:… |
(1)上述材料中,序号“①”“②”处所对应的内容依次为:①______,②______;
(2)补全材料中命题的证明过程;
应用:
(3)如图2,在筝形中,,,,点M,N是筝形边上的两个动点(不与C,D重合)当四边形是筝形时,请直接写出它的正对角线的长.
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3 . 阅读与思考
请阅读下列材料,并完成相应的任务.
数学活动课上,老师提出用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线.
已知:如图,点是直线外一点.
求作:过点且与直线垂直的直线.
“奋进”小组的同学经过讨论,得到这样一种作法:
①在直线上任取两点,;
②以点为圆心,长为半径作弧,以点为圆心,长为半径作弧,两弧交于点;
③作直线AD.
直线AD即为所求
“奋进”小组的同学想说明这一作法的合理性,他们的推理过程如下:
理由:连结,
由作法可知:,
点在的垂直平分线上,
点在的垂直平分线上,(依据 )
是的垂直平分线,
.
(1)上述证明过程中的“依据”是指什么?
(2)如图,利用“奋进”小组同学的作法作边上的高.
(3)若,求的面积.
请阅读下列材料,并完成相应的任务.
数学活动课上,老师提出用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线.
已知:如图,点是直线外一点.
求作:过点且与直线垂直的直线.
“奋进”小组的同学经过讨论,得到这样一种作法:
①在直线上任取两点,;
②以点为圆心,长为半径作弧,以点为圆心,长为半径作弧,两弧交于点;
③作直线AD.
直线AD即为所求
“奋进”小组的同学想说明这一作法的合理性,他们的推理过程如下:
理由:连结,
由作法可知:,
点在的垂直平分线上,
点在的垂直平分线上,(依据 )
是的垂直平分线,
.
(1)上述证明过程中的“依据”是指什么?
(2)如图,利用“奋进”小组同学的作法作边上的高.
(3)若,求的面积.
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4 . 如图1,是等腰三角形,分别是上一点且,与交于点,连接并延长,交于点.
(1)求证:.
(2)求证:垂直平分.
(3)如图2,若,且,求证:.(提示:在上取点,使得,连接)
(1)求证:.
(2)求证:垂直平分.
(3)如图2,若,且,求证:.(提示:在上取点,使得,连接)
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5 . 下列命题中逆命题是假命题的是( )
A.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 |
B.如果,那么 |
C.全等三角形的面积相等 |
D.相等的角是对顶角 |
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6 . 阅读与思考
如图是小宇同学的数学白记,请仔细阅读,并完成相应的任务
任务:
(1)填空:小明的作法依据的一个数学定理是: ;
(2)根据小红的操作过程,求证:是的高线;
(3)在图2中,若延长线段交于点,,,,请你直接写出劣弧的长.
如图是小宇同学的数学白记,请仔细阅读,并完成相应的任务
×年×月×日星期日作三角形的高线 已知:如图1,. 求作:的高线. 今天,我们组的小明和小红的作法和我不同. 小明:如图2,①作线段的垂直平分线找到线段的中点;②点为圆心,的长为半径作圆;③延长交于点;(3)连接.则线段就是的高线. 小红:如图3,①以点为圆心,的长为半径作弧;②以点为圆心,的长为半径作弧,两弧交于点;③作射线,延长与相交于点.则线段就是的高线 我有如下思考:以上两种办法依据的数学原理是什么呢? |
(1)填空:小明的作法依据的一个数学定理是: ;
(2)根据小红的操作过程,求证:是的高线;
(3)在图2中,若延长线段交于点,,,,请你直接写出劣弧的长.
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7 . 综合与实践
问题情境:如图1,正方形和正方形有公共顶点,,,现将正方形绕点按顺时针方向旋转,旋转角为,连接,.
(1)猜想证明:猜想图2中与的数量关系并证明;
(2)探究发现:如图3,当时,连接,延长交于点,求证:垂直平分;
(3)拓展延伸:在旋转过程中,当的面积最大时,直接写出此时旋转角的度数和的面积.
问题情境:如图1,正方形和正方形有公共顶点,,,现将正方形绕点按顺时针方向旋转,旋转角为,连接,.
(1)猜想证明:猜想图2中与的数量关系并证明;
(2)探究发现:如图3,当时,连接,延长交于点,求证:垂直平分;
(3)拓展延伸:在旋转过程中,当的面积最大时,直接写出此时旋转角的度数和的面积.
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名校
8 . 如图,点D在等边的外部,连接、,,过点D作交于点F,交于点E.
(1)判断的形状,并说明理由;
(2)连接,若,,求的长.
(1)判断的形状,并说明理由;
(2)连接,若,,求的长.
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2023-10-29更新
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172次组卷
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19卷引用:山西省临汾市隰县第三中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题
山西省临汾市隰县第三中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题2022年河北省保定市易县中考三模考试数学试题(已下线)专题04 几何初步与三角形-5年(2018-2022)中考1年模拟数学真题分项汇编(河北专用) 陕西省榆林市神木市2021-2022学年八年级下学期数学期末试题(已下线)专题13.25 《轴对称》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)安徽省芜湖市无为市2022—2023学年八年级上学期12月教学质量检测数学试题河南省信阳市浉河区信阳市第九中学2022-2023学年八年级上学期12月月考数学试题天津市第二南开学校2022~2023学年八年级上学期期末考试数学试题福建省泉州实验中学2022-2023学年八年级上学期期末质量检测数学试题(已下线)第四节 特殊三角形03综合测(已下线)专题1.13 角平分线(知识讲解)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)(已下线)专题1.17 三角形的证明(全章复习与巩固)(知识讲解)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)河北省辛集市2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题安徽省宿州市泗县2022-2023学年八年级下学期第一次数学质量调研江苏省泰州市永高新区(高港区)田河、永安洲初级中学2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题(已下线)第07讲 等边三角形的性质与判定(3种题型)-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课(苏科版)安徽省滁州市南谯区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题河南省驻马店市西平县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题安徽省滁州市全椒县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
名校
9 . 如图,在四边形中,,点E,F,G,H分别是的中点,连接,则四边形的形状是_________ .
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2023-10-08更新
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38次组卷
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4卷引用:山西省运城市实验中学2022-2023学年九年级上学期数学第一次月考试题
山西省运城市实验中学2022-2023学年九年级上学期数学第一次月考试题山西省运城市2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题(已下线)平行四边形01讲核心(已下线)专题07 四边形模型(六大题型)-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学下学期期中真题分类汇编(山东专用)
名校
10 . 如图,,则有( )
A.垂直平分 | B.垂直平分 |
C.与互相垂直平分 | D.平分 |
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2023-09-25更新
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401次组卷
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101卷引用:山西省2018-2019学年八年级上学期阶段三质量评估数学试题(华东师大版)
山西省2018-2019学年八年级上学期阶段三质量评估数学试题(华东师大版)2014-2015学年江苏省泰州市海陵区八年级上学期期中考试数学试卷2014-2015学年福建省三明市尤溪坂面中学八年级下学期段考数学试卷2015-2016学年江苏省宜兴张泽中小学校八年级上第一次月考数学试卷2015-2016学年福建省莆田市二十五中八年级期中考试数学试卷2015-2016学年江苏省宿豫区实验初中八年级上学期期中考试数学试卷2016-2017学年江苏无锡惠山区钱桥中学八年级上10月质检数学卷江苏省东台市第一教育联盟2016-2017学年八年级上学期第一次月考数学试题江苏省宜兴市周铁学区2017-2018学年八年级上学期第一次月考数学试题江苏省响水县老舍中学八年级上学期第一次学情调研数学试题江苏省无锡市光华中学2017-2018学年上学期第一次月考八年级数学试卷新人教版数学八年级上册第十三章轴对称13.1.2《线段的垂直平分线的性质》课时练习北师大版数学七年级下册第四章三角形4.3探索三角形全等的条件2017-2018学年江苏省盐城市响水县老舍中学八年级(上)第一次调研数学试卷人教版八年级上册 第十三章 13.1 轴对称 课时练黑龙江省伊春市铁力四中2018-2019学年八年级(上)第一次月考数学试题广东省广州市番禺区2018-2019学年八年级下学期期末考试数学试题江苏省镇江市丹徒区2018-2019学年八年级上学期10月月考数学试题山东省莱州市2018-2019学年七年级第二学期期末学业水平检测数学试题湖南省武冈市2018-2019学年八年级上学期期中数学试题黑龙江省哈尔滨市第十七中学2019-2020学年八年级上学期9月月考数学试题江苏省泰州市泰州中学附属初级中学2019-2020学年八年级上学期10月月考数学试题湖北省恩施土家族苗族自治州新塘民族中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题北京市朝阳区楼梓庄中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题江苏省淮安市三树镇蒋集学校2019-2020学年八年级上学期10月月考数学试题江苏省盐城市东台市第四联盟2019-2020学年八年级上学期期中数学试题江苏省苏州市高新区实验初级中学2019-2020学年八年级上学期10月月考数学试题江苏省徐州市睢宁县2019-2020学年八年级上学期期中数学试题天津市武清区2018-2019学年八年级上学期期中数学试题江西省南昌市外国语学校2019-2020学年八年级上学期期中数学试题江苏省连云港市2019-2020学年八年级上学期期中数学试题江苏省盐城市东台市第一联盟2019-2020学年八年级上学期期末数学试题山东省烟台市莱州市2018-2019学年七年级下学期期末数学试题江西省南昌市第一中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题河南省三门峡灵宝市2019-2020学年八年级上学期期中数学试题黑龙江省哈尔滨市呼兰区2019-2020学年八年级上学期期中数学试题黑龙江省尚志市田家炳中学2019-2020学年八年级上学期期中数学试题湖南省邵阳市隆回县2019-2020学年八年级上学期期末数学试题2020年辽宁省沈阳中考数学评价检测试题(一)云南省曲靖市沾益区播乐乡罗木中学2019-2020学年八年级上学期第一次月考数学试题江苏省江阴市夏港中学2020-2021学年八年级上学期第一次阶段调研数学试题黑龙江省哈尔滨市第39中学2020-2021学年八年级上学期9月月考数学试题重庆市礼嘉中学2020-2021学年八年级上学期11月月考数学试题江苏省南京市第一中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题江苏省盐城市射阳三中、射阳初级中学2020-2021学年八年级上学期期中考试数学试题江苏省盐城市射阳县2020-2021学年八年级上学期期中数学试题甘肃省天水市麦积区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题江苏省南京市溧水区和凤初级中学2020-2021学年八年级上学期第一次学情调研数学试题(已下线)专题14全等三角形-备战2021年中考数学核心考点清单(江苏专用)江苏省盐城市东台市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题2江苏省盐城市东台市2020-2021学年八年级上学期期末数学试题1(已下线)考点12 三角形基本性质-2021年《三步冲刺中考·数学》(陕西专用)之第1步小题夯基础江苏省苏州市新区实验 2019-2020学年八年级上学期数学10月月考试卷(已下线)1.3 线段的垂直平分线-2020-2021学年八年级数学下册十分钟同步课堂专练(北师大版)重庆市开州区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题13.1.2第一课时线段垂直平分线的性质(课前练)【冀教版】第十六章 轴对称和中心对称 16.2 线段的垂直平分线 第二课时 线段垂直平分线的判定和画法(已下线)第09讲 三角形全等的判定-华东师大版八年级上册课中及课后分层同步练黑龙江大庆市肇源县超等蒙古族乡学校等几校2021-2022学年八年级(五四学制)上学期期中联考数学试题江苏省盐城市东台市2021-2022学年八年级上学期期中数学试题(已下线)期中检测卷(易)-2021-2022学年苏科版八年级数学上册同步单元检测天津市津南区咸水沽第二中学2021-2022学年八年级上学期期中考试数学试卷安徽省合肥市第四十五中学2020-2021学年八年级上学期第三次段考数学试题2022年贵州省贵阳清镇北大培文学校九年级初中毕业生期中质量监测试题数学试题(已下线)13.1.2 线段的垂直平分线的性质(练习)-2022-2023学年八年级数学上册同步精品课堂(人教版)湖南省益阳市安化县梅城镇中学2021-2022学年七年级上学期第一次月考数学试卷(已下线)北京市大兴区北京十一学校亦庄实验中学2021-2022学年八年级上学期期末数学试题江苏省盐城市响水县老舍中学2021-2022学年八年级上学期第一次学情调研考试数学试题广东省珠海市香洲区第九中学2022-2023学年八年级上学期期中数学测试卷黑龙江省哈尔滨市香坊区德强中学2020-2021学年八年级上学期(五四制)10月月考数学试卷江苏省南京市鼓楼区第二十九中学2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题江苏省连云港市连云区西苑中学2021-2022学年八年级上学期第一次月考数学试题江苏省无锡市江阴市顾山中学2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题江苏省扬州市江都区第三中学2022-2023学年八年级上学期第一次阶段测试数学试题江苏省南京市第二十九中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试题江苏省淮安市涟水县郑梁梅中学2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题(已下线)江苏省泰州市姜堰区第四中学2022-2023学年八年级上学期数学独立作业11.8安徽省部分市县2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题福建省厦门第一中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷江苏省徐州市邳州市2022-2023学年八年级上学期期中数学试题江苏省南京市秦淮区六校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题江苏省南京市秦淮区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题江苏省南京市第二十九中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题(已下线)八年级上学期期末【夯实基础100题考点专练】-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略(人教版)重庆市渝北区渝北区渝石初级中学校2022-2023学年八年级上学期第二次月考数学试题江苏省华东师范大学广陵实验初级中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题(已下线)第05讲 线段、角的轴对称性-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课(苏科版)广东省惠州市惠城区惠阳高级中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题(已下线)第2章 轴对称图形全章复习与测试-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课(苏科版)辽宁省葫芦岛市连山区钢屯镇初级中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题(已下线)第02讲 线段垂直平分线的性质和判定(知识解读+真题演练+课后巩固)-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》(人教版) 江苏省连云港市西苑中学2022-2023学年八年级上学期第一次月考数学试题福建省厦门五缘第二实验学校2022-2023学年八年级上学期期中数学试题江苏省连云港市东海县2023-2024学年八年级上学期过程性检测(一)数学试题江苏省无锡市宜兴市实验中学教育集团2023-2024学年八年级上学期第一次独立作业数学试题江苏省无锡市江阴市长泾片2023-2024学年八年级上学期期中数学试题山东省德州市宁津县第四实验中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题广东省揭阳市惠来县2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题(已下线)专题06 轴对称(十三大题型)-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编(山东专用)海南省海口市琼山区海南中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题广东省东莞市长安实验中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题