1 . 如图，已知
中，
，
，
，点D是AC边上的一个动点．将沿BD所在直线折叠，点C的对应点为点E．如图，若
，则C，E两点之间的距离为________ ．
中，，，，点D是AC边上的一个动点．将沿BD所在直线折叠，点C的对应点为点E．如图，若，则C，E两点之间的距离为
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2022-08-10更新
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502次组卷
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5卷引用：山西省大同市阳高县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题
山西省大同市阳高县2021-2022学年八年级下学期期中数学试题（已下线）3.3 (附加2) 利用勾股定理解决折叠、展开等问题（练习）-2022-2023学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）（已下线）专题1.12 线段的垂直平分线（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）专题18.14 勾股定理（折叠问题）（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）（已下线）专题17.14 勾股定理（折叠问题）（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
2 . 数学课上，老师提出了如下问题：
尺规作图：作△ABC中BC边上的高线．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
作法：如图，
①以点B为圆心，以BA长为半径作弧，以点C为圆心，以CA长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
(2)小乐和小马帮助小东完成下面的证明．
小乐证明：
∵
，
，
∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（依据1）
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
小马证明：
∵，，
，
∴△ABC≌△EBC
∴
又∵
∴
（依据2）
线段AD是△ABC中BC边上的高．
上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是什么？
(3)请你用不同于小东作图的方法完成老师提出的问题．（尺规作图，不写作法，只保留作图痕迹）
(4)若
，
，
，则BC边上的高AD的长度为________．
尺规作图：作△ABC中BC边上的高线．
已知：△ABC．
求作：△ABC中BC边上的高线AD．
下面是小东设计的“作△ABC中BC边上的高线”的尺规作图过程．
作法：如图，
①以点B为圆心，以BA长为半径作弧，以点C为圆心，以CA长为半径作弧，两弧在BC下方交于点E；
②连接AE交BC于点D．
所以线段AD是△ABC中BC边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）
(2)小乐和小马帮助小东完成下面的证明．
小乐证明：
∵
，，∴点B，C分别在线段AE的垂直平分线上（依据1）
∴BC垂直平分线段AE．
∴线段AD是△ABC中BC边上的高线．
小马证明：
∵
，，，∴△ABC≌△EBC
∴
又∵
∴
（依据2）线段AD是△ABC中BC边上的高．
上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是什么？
(3)请你用不同于小东作图的方法完成老师提出的问题．（尺规作图，不写作法，只保留作图痕迹）
(4)若
，，，则BC边上的高AD的长度为________．
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3 . 阅读与证明
三大作图问题之三等分角三等分任意角是古希腊学者们于公元前5世纪提出并研究的三大作图问题之一．两千多年以来，数学家们为此耗费了许多心血．直到1837年，法国数学家闻脱兹尔证明了，只使用直尺和圆规无法三等分一个任意角，至此人类才走出了这座数学迷宫，在探究过程中发现，有些特殊度数的角如 角， 角， 角等可用尺规三等分，任意角采用特殊的工具也可三等分．
如图（1），
，下面是两种三等分角的方法．
(1)阿基米德创设的方法是：在图（2）中，预先在直尺上作了一个记号点P，点O为直尺的端点，以B为圆心，
为半径作半圆，与边
和
分别交于点N和M；移动直尺，使直尺上的点O在边的反向延长线上移动，点P在圆周上，当直尺正好经过点N时，过点B画
的平行线
．求证：
；
(2)用“有刻度的勾尺”的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点P，
于点Q，
．画直线
，并且
与之间的距离等于
，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使勾尺的边
经过点B，同时让点R落在边上．求证：
．
三大作图问题之三等分角三等分任意角是古希腊学者们于公元前5世纪提出并研究的三大作图问题之一．两千多年以来，数学家们为此耗费了许多心血．直到1837年，法国数学家闻脱兹尔证明了，只使用直尺和圆规无法三等分一个任意角，至此人类才走出了这座数学迷宫，在探究过程中发现，有些特殊度数的角如 角， 角， 角等可用尺规三等分，任意角采用特殊的工具也可三等分．
如图（1），
，下面是两种三等分角的方法．(1)阿基米德创设的方法是：在图（2）中，预先在直尺上作了一个记号点P，点O为直尺的端点，以B为圆心，
为半径作半圆，与边和分别交于点N和M；移动直尺，使直尺上的点O在边的反向延长线上移动，点P在圆周上，当直尺正好经过点N时，过点B画的平行线．求证：；(2)用“有刻度的勾尺”的方法是：在图（3）中，勾尺的直角顶点为点P，
于点Q，．画直线，并且与之间的距离等于，移动勾尺到合适位置，使顶点P落在上，使勾尺的边经过点B，同时让点R落在边上．求证：．
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名校
4 . 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作
交AD于点E，若
，
，则DE的长为______ ．
交AD于点E，若，，则DE的长为
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2022-05-14更新
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400次组卷
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6卷引用：山西省忻州市宁武县2021-2022学年八年级下学期期末数学试题
名校
5 . 如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS，其中正确结论的序号是（ ）
| A．①② | B．①②③ | C．①②④ | D．①②③④ |
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2022-02-28更新
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405次组卷
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9卷引用：山西省运城市景胜中学2020-2021学年八年级上学期第一次月考数学试题
山西省运城市景胜中学2020-2021学年八年级上学期第一次月考数学试题黑龙江省佳木斯市桦南县2019-2020学年八年级上学期期中数学试题广东省广州市荔湾区真光中学2020-2021学年八年级上学期期中数学试题广东省珠海市香洲区2021-2022学年八年级上学期期中数学试题广东省珠海市香洲区前山中学2021-2022学年八年级上学期期中数学试题广东省潮州市饶平县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题广东省广州市天河区华南师范大学附属中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题（B卷） 广东省广州市天河区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 黑龙江省佳木斯市桦南县第三中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题
6 . 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AB于点E，且BE2﹣EA2＝AC2．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长．
（1）求证：∠A＝90°；
（2）若AC＝6，BD＝5，求△AEC的周长．
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2021-11-01更新
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129次组卷
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3卷引用：山西省吕梁市兴县初级中学2022-2023学年八年级下学期月考数学试题
名校
7 . 如图，直线
与
交于点O，
，下列结论中正确的是（ ）
与交于点O，，下列结论中正确的是（ ）A． | B． |
| C．是的垂直平分线 | D．点P在的垂直平分线上 |
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2021-09-14更新
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238次组卷
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4卷引用：山西省吕梁市兴县东会中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
名校
8 . 阅读下面材料，并解答其后的问题：
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
如图1，四边形ABCD中，若AD=AB，CD=CB，则四边形ABCD是筝形．
类比研究：
我们在学完平行四边形后，知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对平行四边形的性质进行研究，请根据示例图形，完成下表：
（1）表格中①、②分别填写的内容是：
① ；
② ．
（2）演绎论证：证明筝形有关对角线的性质．
已知：在筝形ABCD中，AD＝AB，BC＝DC，AC、BD是对角线．
求证： ．
证明：
（3）运用：如图3，已知筝形ABCD中，AD＝AB＝4，CD＝CB，∠A＝90°，∠C＝60°，求筝形ABCD的面积．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
如图1，四边形ABCD中，若AD=AB，CD=CB，则四边形ABCD是筝形．
类比研究：
我们在学完平行四边形后，知道可以从对称性、边、角和对角线四个角度对平行四边形的性质进行研究，请根据示例图形，完成下表：
四边形 | 示例图形 | 对称性 | 边 | 角 | 对角线 |
平行 四边形 |
| 是中心对称图形 | 两组对边分别平行，两组对边分别相等． | 两组对角 分别相等． | 对角线互相平分． |
筝形 |
| ① | 两组邻边分别相等 | 有一组对角相等 | ② |
① ；
② ．
（2）演绎论证：证明筝形有关对角线的性质．
已知：在筝形ABCD中，AD＝AB，BC＝DC，AC、BD是对角线．
求证： ．
证明：
（3）运用：如图3，已知筝形ABCD中，AD＝AB＝4，CD＝CB，∠A＝90°，∠C＝60°，求筝形ABCD的面积．
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2021-09-11更新
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137次组卷
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2卷引用：山西省运城市实验中学2020-2021学年八年级下学期数学期末模拟测试题七
名校
9 . 如图，在△ADC中，AD＝DC，且AB∥DC，CB⊥AB于点B．CE⊥AD交AD的延长线于点E．
（1）求证：CE＝CB．
（2）连接BE，求证：AC垂直平分BE．
（1）求证：CE＝CB．
（2）连接BE，求证：AC垂直平分BE．
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2021-08-31更新
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587次组卷
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6卷引用：山西省运城市实验中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题
10 . （1）如图1，已知直线l和l上一点P，求作：直线PQ使PQ⊥l；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）如图2，已知直线l和l外一点P．下面是小华设计的“过点P作直线l的垂线”的作法：请结合图形阅读作法，并将证明“PQ⊥l ”的过程补充完整作法：
①在直线l上取点A，B；②以A，B为圆心，AP，BP为半径，两弧在直线l下方交于点Q；③作直线PQ，且PQ经过点P．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ，由作法可知，AP＝AQ， BP=BQ，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，（依据： ），
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线（依据： ），
∴PQ⊥l（垂直平分线的定义）．
（2）如图2，已知直线l和l外一点P．下面是小华设计的“过点P作直线l的垂线”的作法：请结合图形阅读作法，并将证明“PQ⊥l ”的过程补充完整作法：
①在直线l上取点A，B；②以A，B为圆心，AP，BP为半径，两弧在直线l下方交于点Q；③作直线PQ，且PQ经过点P．
证明：连接AP，AQ，BP，BQ，由作法可知，AP＝AQ， BP=BQ，
∴点A在线段PQ的垂直平分线上，点B在线段PQ的垂直平分线上，（依据： ），
∴直线AB是线段PQ的垂直平分线（依据： ），
∴PQ⊥l（垂直平分线的定义）．
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2021-08-14更新
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164次组卷
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2卷引用：山西省太原市2020-2021学年八年级下学期期中数学试题
