名校
1 . 下面是小萱同学的数学周记,请仔细阅读并完成相应的任务.
筝形
在学习完平行四边形及特殊的平行四边形后,我发现生活中还有一种常见的特殊四边形−−筝形,可以类比平行四边形的研究路径“定义−性质−判定”研究筝形.
定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图1,四边形是筝形,其中,
性质1:两组邻边分别相等,即.(由定义可得)
性质2:对角线垂直平分对角线.
性质3:一组对角相等,即.
性质4:筝形的面积等于两条对角线乘积的一半.
判定:与平行四边形类似,筝形的性质与判定也具有互逆关系.
判定1:……
任务:
(1)填空:性质2的证明过程如下.
已知:如图2,四边形是筝形,.
证明:连接.
∴点A在的垂直平分线上.(依据1: )
∴点C在的垂直平分线上.
∴垂直平分.(依据2: )
(2)请你借助图3对性质3进行证明.(要求:写出已知、求证和证明过程)
筝形
在学习完平行四边形及特殊的平行四边形后,我发现生活中还有一种常见的特殊四边形−−筝形,可以类比平行四边形的研究路径“定义−性质−判定”研究筝形.
定义:两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.如图1,四边形是筝形,其中,
性质:从整体看,筝形是轴对称图形,对称轴是对角线AC所在的直线;从局部看,应从边、角、对角线等角度探究筝形的性质.我发现,筝形有如下性质:
性质1:两组邻边分别相等,即.(由定义可得)
性质2:对角线垂直平分对角线.
性质3:一组对角相等,即.
性质4:筝形的面积等于两条对角线乘积的一半.
判定:与平行四边形类似,筝形的性质与判定也具有互逆关系.
判定1:……
任务:
(1)填空:性质2的证明过程如下.
已知:如图2,四边形是筝形,.
求证:垂直平分.
证明:连接.
∴点A在的垂直平分线上.(依据1: )
∴点C在的垂直平分线上.
∴垂直平分.(依据2: )
(2)请你借助图3对性质3进行证明.(要求:写出已知、求证和证明过程)
(3)图4的方格纸中每个小正方形的边长都为1,请在方格纸中画出一个顶点都在格点上且面积为6的筝形.
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2 . 下面是小文同学的一则数学日记,请你认真阅读并完成下列任务.
任务:
(1)上述材料中,序号“①”“②”处所对应的内容依次为:①______,②______;
(2)补全材料中命题的证明过程;
应用:
(3)如图2,在筝形中,,,,点M,N是筝形边上的两个动点(不与C,D重合)当四边形是筝形时,请直接写出它的正对角线的长.
2024年×月×日 探索筝形的性质 对于几何图形,通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究,且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开.以等腰三角形为例,其定义、性质、判定都通过它的边、角、底边上的中线、高线、顶角平分线的特征来体现.类似地,这样的方法可以用于研究其他几何图形,如筝形.1.定义:如图1,在四边形中,,,我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.与叫做等形的正对角,与是它的对角线,它们交于点O,其中叫做筝形的正对 根据定义可以进行如下推理: 推理1:∵四边形是筝形,①∴ ① . 推理2:在四边形中,,, ② . 2.性质:从整体看,等形是轴对称图形,它的对称轴是正对角线所在直线.由此,可以猜想得到等形局部元素的性质如下: 从“角”的角度,可以发现等形的正对角相等. 从“对角线”的角度,可以发现等形的正对角线垂直平分另一条对角线.这个命题的证明如下: 已知:如图1,筝形中,,. 求证:垂直平分. 证明:… 3.判定:… |
(1)上述材料中,序号“①”“②”处所对应的内容依次为:①______,②______;
(2)补全材料中命题的证明过程;
应用:
(3)如图2,在筝形中,,,,点M,N是筝形边上的两个动点(不与C,D重合)当四边形是筝形时,请直接写出它的正对角线的长.
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3 . 阅读与思考
请阅读下列材料,并完成相应的任务.
数学活动课上,老师提出用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线.
已知:如图,点是直线外一点.
求作:过点且与直线垂直的直线.
“奋进”小组的同学经过讨论,得到这样一种作法:
①在直线上任取两点,;
②以点为圆心,长为半径作弧,以点为圆心,长为半径作弧,两弧交于点;
③作直线AD.
直线AD即为所求
“奋进”小组的同学想说明这一作法的合理性,他们的推理过程如下:
理由:连结,
由作法可知:,
点在的垂直平分线上,
点在的垂直平分线上,(依据 )
是的垂直平分线,
.
(1)上述证明过程中的“依据”是指什么?
(2)如图,利用“奋进”小组同学的作法作边上的高.
(3)若,求的面积.
请阅读下列材料,并完成相应的任务.
数学活动课上,老师提出用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线.
已知:如图,点是直线外一点.
求作:过点且与直线垂直的直线.
“奋进”小组的同学经过讨论,得到这样一种作法:
①在直线上任取两点,;
②以点为圆心,长为半径作弧,以点为圆心,长为半径作弧,两弧交于点;
③作直线AD.
直线AD即为所求
“奋进”小组的同学想说明这一作法的合理性,他们的推理过程如下:
理由:连结,
由作法可知:,
点在的垂直平分线上,
点在的垂直平分线上,(依据 )
是的垂直平分线,
.
(1)上述证明过程中的“依据”是指什么?
(2)如图,利用“奋进”小组同学的作法作边上的高.
(3)若,求的面积.
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4 . 如图1,是等腰三角形,分别是上一点且,与交于点,连接并延长,交于点.
(1)求证:.
(2)求证:垂直平分.
(3)如图2,若,且,求证:.(提示:在上取点,使得,连接)
(1)求证:.
(2)求证:垂直平分.
(3)如图2,若,且,求证:.(提示:在上取点,使得,连接)
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5 . 阅读与思考
如图是小宇同学的数学白记,请仔细阅读,并完成相应的任务
任务:
(1)填空:小明的作法依据的一个数学定理是: ;
(2)根据小红的操作过程,求证:是的高线;
(3)在图2中,若延长线段交于点,,,,请你直接写出劣弧的长.
如图是小宇同学的数学白记,请仔细阅读,并完成相应的任务
×年×月×日星期日作三角形的高线 已知:如图1,. 求作:的高线. 今天,我们组的小明和小红的作法和我不同. 小明:如图2,①作线段的垂直平分线找到线段的中点;②点为圆心,的长为半径作圆;③延长交于点;(3)连接.则线段就是的高线. 小红:如图3,①以点为圆心,的长为半径作弧;②以点为圆心,的长为半径作弧,两弧交于点;③作射线,延长与相交于点.则线段就是的高线 我有如下思考:以上两种办法依据的数学原理是什么呢? |
(1)填空:小明的作法依据的一个数学定理是: ;
(2)根据小红的操作过程,求证:是的高线;
(3)在图2中,若延长线段交于点,,,,请你直接写出劣弧的长.
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6 . 综合与实践
问题情境:如图1,正方形和正方形有公共顶点,,,现将正方形绕点按顺时针方向旋转,旋转角为,连接,.
(1)猜想证明:猜想图2中与的数量关系并证明;
(2)探究发现:如图3,当时,连接,延长交于点,求证:垂直平分;
(3)拓展延伸:在旋转过程中,当的面积最大时,直接写出此时旋转角的度数和的面积.
问题情境:如图1,正方形和正方形有公共顶点,,,现将正方形绕点按顺时针方向旋转,旋转角为,连接,.
(1)猜想证明:猜想图2中与的数量关系并证明;
(2)探究发现:如图3,当时,连接,延长交于点,求证:垂直平分;
(3)拓展延伸:在旋转过程中,当的面积最大时,直接写出此时旋转角的度数和的面积.
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名校
7 . 如图,点D在等边的外部,连接、,,过点D作交于点F,交于点E.
(1)判断的形状,并说明理由;
(2)连接,若,,求的长.
(1)判断的形状,并说明理由;
(2)连接,若,,求的长.
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2023-10-29更新
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173次组卷
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19卷引用:山西省临汾市隰县第三中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题
山西省临汾市隰县第三中学2022-2023学年八年级上学期期中数学试题2022年河北省保定市易县中考三模考试数学试题(已下线)专题04 几何初步与三角形-5年(2018-2022)中考1年模拟数学真题分项汇编(河北专用) 陕西省榆林市神木市2021-2022学年八年级下学期数学期末试题(已下线)专题13.25 《轴对称》挑战综合(压轴)题分类专题(专项练习)-2022-2023学年八年级数学上册基础知识专项讲练(人教版)安徽省芜湖市无为市2022—2023学年八年级上学期12月教学质量检测数学试题河南省信阳市浉河区信阳市第九中学2022-2023学年八年级上学期12月月考数学试题天津市第二南开学校2022~2023学年八年级上学期期末考试数学试题福建省泉州实验中学2022-2023学年八年级上学期期末质量检测数学试题(已下线)第四节 特殊三角形03综合测(已下线)专题1.13 角平分线(知识讲解)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)(已下线)专题1.17 三角形的证明(全章复习与巩固)(知识讲解)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)河北省辛集市2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题安徽省宿州市泗县2022-2023学年八年级下学期第一次数学质量调研江苏省泰州市永高新区(高港区)田河、永安洲初级中学2022-2023学年八年级上学期10月月考数学试题(已下线)第07讲 等边三角形的性质与判定(3种题型)-【暑假自学课】2023年新八年级数学暑假精品课(苏科版)安徽省滁州市南谯区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题河南省驻马店市西平县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题安徽省滁州市全椒县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
名校
8 . 综合与实践
问题情境:数学课上,老师带领同学们“玩转直角三角形”的探究活动,老师将全等的两张直角三角形纸片按如图1所示在同一平面内摆放,点A与点F重合,点C与点E重合.已知:,,.
初步探究:
(1)“勤思小组”进行了如下操作: 保持不动,将绕点A顺时针方向旋转,如图2所示,旋转角度为,直线DE与直线交于点G,在旋转过程中,发现始终有,请你帮他们写出证明过程.
深入探究:
(2)“敏学小组”在“勤思小组”的操作方式下继续探究,提出问题:
①如图2,若连接,请判断线段与的关系,并说明理由.
②如图3,当旋转角度时,的边与边重合,则的面积为______.
问题情境:数学课上,老师带领同学们“玩转直角三角形”的探究活动,老师将全等的两张直角三角形纸片按如图1所示在同一平面内摆放,点A与点F重合,点C与点E重合.已知:,,.
初步探究:
(1)“勤思小组”进行了如下操作: 保持不动,将绕点A顺时针方向旋转,如图2所示,旋转角度为,直线DE与直线交于点G,在旋转过程中,发现始终有,请你帮他们写出证明过程.
深入探究:
(2)“敏学小组”在“勤思小组”的操作方式下继续探究,提出问题:
①如图2,若连接,请判断线段与的关系,并说明理由.
②如图3,当旋转角度时,的边与边重合,则的面积为______.
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2023-08-10更新
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109次组卷
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3卷引用:山西省晋中市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题
9 . 综合与实践
问题情境:数学活动课上,老师提出如下问题:将两个全等的矩形和按图1所示方式摆放,其中点E在上,点D在上,与交于点H.求证:垂直平分线段.
(1)数学思考:请你解决老师提出的问题;
(2)问题解决:将矩形以点A为中心,顺时针旋转到图2所示位置,与交于点H.则老师所提问题的结论是否仍然成立?请说明理由;
(3)拓展探究:如图3,在矩形以A为中心,顺时针旋转的过程中,当点G恰好落在边上时,点B恰好落在边上,若,,则的长度值为 .
问题情境:数学活动课上,老师提出如下问题:将两个全等的矩形和按图1所示方式摆放,其中点E在上,点D在上,与交于点H.求证:垂直平分线段.
(1)数学思考:请你解决老师提出的问题;
(2)问题解决:将矩形以点A为中心,顺时针旋转到图2所示位置,与交于点H.则老师所提问题的结论是否仍然成立?请说明理由;
(3)拓展探究:如图3,在矩形以A为中心,顺时针旋转的过程中,当点G恰好落在边上时,点B恰好落在边上,若,,则的长度值为 .
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10 . 阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.
任务:
(1)填空:小明的作法依据的一个数学定理是______;
(2)根据小红的操作过程,求证:是的高线;
(3)在图2中,若延长线段交于点E,,,,请你直接写出的长.
如图是小宇同学的数学日记,请仔细阅读,并完成相应的任务.
×年×月×日星期日 作三角形的高线 已知:如图1,. 求作:的高线. 今天,我们组的小明和小红的作法和我不同. 小明:如图2,①作线段的垂直平分线找到线段的中点O;②以点O为圆心,的长为半径作圆;③延长交于点D;③连接.则线段就是的高线。 小红:如图3,①以点B为圆心,的长为半径作弧;②以点C为圆心,的长为半径作弧,两弧交于点E;③作射线,延长与相交于点D.则线段就是的高线. 我有如下思考:以上两种办法依据的数学原理是什么呢? |
(1)填空:小明的作法依据的一个数学定理是______;
(2)根据小红的操作过程,求证:是的高线;
(3)在图2中,若延长线段交于点E,,,,请你直接写出的长.
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