1 . 如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点.

(1)求证：轴是线段的垂直平分线；
(2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设；
若，求的度数(用含有的式子表示)；
探究线段与的数量关系，并证明．

2 . 下面是小萱同学的数学周记，请仔细阅读并完成相应的任务．
筝形
在学习完平行四边形及特殊的平行四边形后，我发现生活中还有一种常见的特殊四边形−−筝形，可以类比平行四边形的研究路径“定义−性质−判定”研究筝形．
定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图1，四边形是筝形，其中，

   

性质：从整体看，筝形是轴对称图形，对称轴是对角线AC所在的直线；从局部看，应从边、角、对角线等角度探究筝形的性质．我发现，筝形有如下性质：
性质1：两组邻边分别相等，即．（由定义可得）
性质2：对角线垂直平分对角线．
性质3：一组对角相等，即．
性质4：筝形的面积等于两条对角线乘积的一半．
判定：与平行四边形类似，筝形的性质与判定也具有互逆关系．
判定1：……
任务：
(1)填空：性质2的证明过程如下．
已知：如图2，四边形是筝形，．

   

求证：垂直平分．
证明：连接．

∴点A在的垂直平分线上．（依据1：                ）

∴点C在的垂直平分线上．
∴垂直平分．（依据2：                                     ）
(2)请你借助图3对性质3进行证明．（要求：写出已知、求证和证明过程）

   

(3)图4的方格纸中每个小正方形的边长都为1，请在方格纸中画出一个顶点都在格点上且面积为6的筝形．

   

3 . 下面是小文同学的一则数学日记，请你认真阅读并完成下列任务．

2024年×月×日 探索筝形的性质 对于几何图形，通常是从它的定义、性质、判定和应用等方面进行研究，且都是从组成图形的元素及相关元素之间的关系展开．以等腰三角形为例，其定义、性质、判定都通过它的边、角、底边上的中线、高线、顶角平分线的特征来体现．类似地，这样的方法可以用于研究其他几何图形，如筝形． 1．定义：如图1，在四边形中，，，我们把这种有两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．与叫做等形的正对角，与是它的对角线，它们交于点O，其中叫做筝形的正对角线． 根据定义可以进行如下推理： 推理1：∵四边形是筝形，①∴         ①           ． 推理2：在四边形中，，，           ②           ． 2．性质：从整体看，等形是轴对称图形，它的对称轴是正对角线所在直线．由此，可以猜想得到等形局部元素的性质如下： 从“角”的角度，可以发现等形的正对角相等． 从“对角线”的角度，可以发现等形的正对角线垂直平分另一条对角线．这个命题的证明如下： 已知：如图1，筝形中，，． 求证：垂直平分． 证明：… 3．判定：…

任务：
（1）上述材料中，序号“①”“②”处所对应的内容依次为：①______，②______；
（2）补全材料中命题的证明过程；
应用：
（3）如图2，在筝形中，，，，点M，N是筝形边上的两个动点（不与C，D重合）当四边形是筝形时，请直接写出它的正对角线的长．

4 . 在等边中，点D为射线上（点B、点C除外）一动点，过点D作的高，延长至点E，使．

(1)如图1，当点D是的中点时，求证：；
(2)如图2，当点D在线段上移动时，过点D作交直线于点F，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由．
(3)若等边的边长为4，当时，求的长．

5 . 问题情境
   
数学活动课上，学习小组进行探究活动，老师给出如下问题：在中，，，垂足为，且，点是边上一动点（点不与点、点重合），连接，过点作交线段于点．
各小组在探究过程中提出了以下问题：
(1)“智慧小组”提出问题：
如图①，求证：．
请你写出证明过程；
(2)“奋进小组”受到探究过程的启发，提出问题：
如图②，若，，，求的面积．
请你写出解答过程；
(3)“善思小组”学以致用提出问题：
若，，交线段于点，连接，且与相似，求的长．
请你利用答题卡中的备用图补全图形，并写出解答过程．

6 . 定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点．

(1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______；
(2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点；
(3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．

7 . 材料：切弦亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦．

证明：为了说明切弦性质的正确性，补充证明过程．

已知：如图，P是外一点，                 ，

求证：             ．

证明：

   

8 . 已知：的半径，过点A作，在上截取，连结，的外接圆，交于点C，连．
   
(1)请在图中作出线段并求的半径，（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明）．
(2)求证：垂直平分线段．

9 . 综合与实践
问题情境：如图1，正方形和正方形有公共顶点，，，现将正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为，连接，．
   
(1)猜想证明：猜想图2中与的数量关系并证明；
(2)探究发现：如图3，当时，连接，延长交于点，求证：垂直平分；
(3)拓展延伸：在旋转过程中，当的面积最大时，直接写出此时旋转角的度数和的面积．

10 . 如图，为的角平分线，，求证：是的垂直平分线小高证明如下：
证明：
   
平分，
，
又点在上，．

∴是的垂直平分线．
小高的证法正确吗？若不正确，请写出正确的证明过程．