1 . 如图，已知：平行四边形
中，
，
的平分线交于点E，且点E刚好落在
上，分别延长
、
交于F．
与之间有什么数量关系？并证明你的猜想；
(2)若
，
，求
的面积．
中，，的平分线交于点E，且点E刚好落在上，分别延长、交于F．
与之间有什么数量关系？并证明你的猜想；(2)若
，，求的面积．
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2 . 装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以为直径的半圆
，
，如图1和图2所示，
为水面截线，
为台面截线，
．
，作
于点
．求
的长．
操作：将图1中的水面沿向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当
时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为
，与半圆的切点为
，连接
交于点
．
（2） 探究：在图2中，操作后水面高度下降了多少？
为直径的半圆，，如图1和图2所示，为水面截线，为台面截线，．
，作于点．求的长．操作：将图1中的水面沿
向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当时停止滚动，如图2．其中，半圆的中点为，与半圆的切点为，连接交于点．（2） 探究：在图2中，操作后水面高度下降了多少？
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2024七年级下·全国·专题练习
3 . 如图，在
中
，
．分别以点A和C为圆心，以大于
的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线
分别交
，
于点D和点E．若
，则
的长为________ ．
中，．分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为
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2024八年级下·山东·专题练习
4 . 如图，在中，
，
，点D为边的中点，点E是边上的一个动点，连接
，将
沿翻折得到
，线段
交边于点F．当△DEF为直角三角形时，的长为_____ ．
中，，，点D为边的中点，点E是边上的一个动点，连接，将沿翻折得到，线段交边于点F．当△DEF为直角三角形时，的长为
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5 . 如图，在
中，
平分
，交于点E，交的延长线于点F．
；
(2)若
，求
的面积．
中，平分，交于点E，交的延长线于点F．
；(2)若
，求的面积．
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2024八年级下·浙江·专题练习
6 . 如图，在等腰中，
平分，过点A作
交
的延长线于D，连接，过点D作
交的延长线于E．的形状，并说明理由；
(2)若
，求的长．
中，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．
的形状，并说明理由；(2)若
，求的长．
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2024八年级下·全国·专题练习
7 . 如图，在
中，
，
，
，、
分别是、的中点，动点
从点出发，沿
方向匀速运动，速度为
，同时动点从点
出发，沿
方向匀速运动，速度为
，连接，设运动时间为
，则当
___ 时，
为等腰三角形．
中，，，，、分别是、的中点，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，连接，设运动时间为，则当为等腰三角形．
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8 . 如图，正方形的边长是4，为上一动点，以
为斜边作直角
，且
，当点从运动到时，点的运动路程为（ ）
的边长是4，为上一动点，以为斜边作直角，且，当点从运动到时，点的运动路程为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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9 . 在数学活动课中，同学们对特殊四边形的折叠问题进行了探究：在四边形中，点E是边上一动点，将四边形沿
折叠，点B，C的对应点分别为点
，
．下面是某学习小组的三位同学提出的数学问题，请你解决这些问题．中，
，当点落在的延长线上时，
，
；
(2)小华同学提出的问题：如图2，在平行四边形中，
，当
时，求
的值及
的度数．
(3)小丽同学在小华提出的问题的基础上进行了延伸：如图3，在菱形
中，
，
，点 E在射线上运动（
），当
与菱形的一边垂直时，请直接写出
的长．
中，点E是边上一动点，将四边形沿折叠，点B，C的对应点分别为点，．下面是某学习小组的三位同学提出的数学问题，请你解决这些问题．
中，，当点落在的延长线上时， ， ；(2)小华同学提出的问题：如图2，在平行四边形
中，，当时，求的值及的度数．(3)小丽同学在小华提出的问题的基础上进行了延伸：如图3，在菱形
中，，，点 E在射线上运动（），当与菱形的一边垂直时，请直接写出的长．
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10 . 如图，平行四边形中，
，
，
，点G是的中点，点E是边上的动点，
的延长线与的延长线交于点F，连接，．
_______
时，四边形
是菱形；
②当_______时，四边形是矩形；
请选择其中一个结论证明．
中，，，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接，．
_______时，四边形是菱形；②当
_______时，四边形是矩形；请选择其中一个结论证明．
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