1 . 一透明的敞口正方体容器内装有一些有色液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α．（注：图①中，图②中）
探究：如图①，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的三视图及尺寸如图②所示，那么图①中，液体形状为______（填几何体的名称）；
利用图②中数据，计算出图①中液体的体积为多少？（提示：V＝底面积×高）
拓展：在图①的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．若从正面看，液面与棱或交于点P，点Q始终在棱上，设，则的长度为______（用含x的代数式表示）．

2 . 【问题发现】
（1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为      ；      ；
【类比探究】
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．

4 . 如图，中，，，．点P从点C出发沿折线以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，点Q从点B出发沿以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达点B时停止运动，另一点也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（）．
发现：

(1)___________；
(2)当点P，Q相遇时，相遇点在哪条边上？并求出此时的长．
探究：
(3)当时，的面积为___________；
(4)点P，Q分别在，上时，的面积能否是面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
拓展：
(5)当时，求出此时t的值．

5 . （1）尝试解决：如图1，在中，，点M在边上运动（M不与点E，F重合），连接，过点D作线段，垂足为点D，且，连接，求出的度数；
（2）类比探究：如图2，在中，，，点M在边上运动（M不与点E，F重台），连接，以腰在上方作等腰，其中，，，试问线段，，之间有怎样的等量关系？写出结论并证明；
（3）拓展应用：如图3，在中，，，在左侧作，若，，求出的长度．

6 . 如图1，在中，，，，点分别是边的中点，连接．将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．

(1)问题发现
当时，______；当时，______．
(2)拓展探究
试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
(3)问题解决
绕点逆时针旋转至三点在同一条直线上时，请直接写出线段的长______．

7 . 在数学探究课上，老师组织了一个操作探究活动，如图1，在中，已知，，将一把含角的三角尺紧贴在纸面上，并保持顶点E在的边上移动，且一边过的顶点A，，边与交于点H．
      


(1)初步尝试：当时，求和的长；
(2)探究运用：当为等腰三角形时，求的长；
(3)拓展延伸：如图2，作的外接圆，圆心为点P．
①当点E运动到某一时刻，点P恰好落在线段上，求此时的长；
②M为线段上一点，，当点E从①中的点E位置运动到点M的过程中，点P也随之运动，请直接写出点P运动路径的长．

8 . 探究：如图1和图2，四边形中，已知，，点M、N分别在上，．

(1)①如图1，若都是直角，把绕点B顺时针旋转90°至，使与重合，直接写出线段和之间的数量关系______；
②如图2，若、都不是直角，但满足，线段和之间的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
(2)拓展：如图3，在中，，，点D、M均在边边上，且，若，请直接写出的长．

9 . 某班数学课题学校小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程，请你按要求完成相应的证明和计算．
   
【初步发现】
（1）他们初步研究发现，如图1，在矩形中，时，如果交于点交于点，那么______（填“”、“”或“”）．
【深入探究】
（2）如图2，在矩形中，分别交于点分别交于点．求证：．
【尝试应用】
（3）如图3，在矩形中，在满足上面（1）中的条件下，点分别在边上，，若，求的值．
【联系拓展】
（4）如图4，若，直接写出的值．

10 . 综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形平移与旋转”为主题开展数学活动，和是两个等边三角形纸片，其中，，．
解决问题
(1)勤奋小组将和按图所示的方式摆放（点，，在同一条直线上），连接，．发现，请你给予证明
   
(2)如图2，创新小组在勤奋小组的基础上继续探究，将绕着点逆时针方向旋转，当点恰好落在边上时，求的面积．
   
拓展延伸
(3)如图3，缜密小组在创新小组的基础上，提出一个问题：“将沿方向平移得到．连接，，当恰好是以为斜边的直角三角形时，请你直接写出的值及长度．