3 . 如图，在直角坐标系中，点，点为轴正半轴上的一个动点，以为直径作圆交轴于点，圆与直线交于点，连接，过点作交圆于点，连接．

   

(1)求证：四边形是矩形；
(2)设矩形的面积为，试求关于的函数解析式，写出的取值范围．并判断是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值，若不存在，请说明理由；
(3)当时，求点移动路线的长．

4 . 如图1，在中，，，，点O在边AB上，且，以点O为圆心，2为半径在AB的上方作半圆O，交AB于点D，E，交AC于点P．将半圆O沿AB向右平移，设点D平移的距离为．

(1)在图1中，劣弧的长为________；
(2)当半圆O平移到与边AC相切时，如图2所示．
①求x的值；
②已知M，N分别是边BC与上的动点，连接MN，求MN的最小值和最大值之和；
(3)在半圆O沿边AB向右平移的过程中，当半圆O与的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围．

8 . 定义：分别为两个图形上任意一点，当线段的长度存在最小值时，就称该最小值为图形和的“近距离”；当线段的长度存在最大值时，就称该最大值为图形和的“远距离”．请你在理解上述定义的基础上，解决下面问题：
如图，在平面直角坐标系中，点．
   
（1）线段与线段的“近距离”为__________．
（2）的圆心在轴正半轴上，半径为1，若与相切于点，则与线段的“近距离”为__________，此时与四边形的“远距离”为__________．

9 . 如图1，点O是矩形ABCD的中心，，，动点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，连接PO，以PO，PB为边作平行四边形OPBE，设点的运动时间为秒．

(1)当点落在边上时，平行四边形OPBE的周长为______；
(2)当点在边上运动时，若四边形OPBE是轴对称图形，则的值为______；
(3)在点的运动过程中，长度的最大值为，最小值，则的值是______；
(4)如图，当点在边上运动时，以为对角线作正方形OFPG(O、F、P、G逆时针排序，则点的运动路径长为______．

10 . 嘉嘉与淇淇在讨论下面的问题：
如图，中，，，．D，E分别是，边上的动点，，以为直径的交于点P，Q两点，求线段的最大值．
   
嘉嘉：当点D，E分别在，上移动时，点О到点A的距离为定值；
淇淇：当为圆О的直径时，线段的长最大．
关于上述问题及两人的讨论，下列说法正确的是（     ）

A．两人的说法都正确，线段的最大值为52

B．嘉嘉的说法正确，淇淇的说法有问题，线段长度的最大值为48

C．淇淇的说法有问题，当时，线段的长度最大

D．这道题目有问题，的长度只有最小值，没有最大值