1 . 问题探究：

(1)如图（1），在中，，，点为边上的一动点，以为边在右侧作，且，，连．若，求的长；
(2)如图（2），边长为4的等边，点为边上的一动点，以为边在右侧作，连接，则__________；__________；的周长最小值是__________．
问题解决：
(3)如图3，四边形中，，，，，点分别为边，上的动点，且，是否存在点，使得四边形面积最大且的周长最小？若存在，求出四边形面积最大值和的周长最小值；若不存在，请说明理由．

2 . 一副三角板如图摆放，点是45°角三角板的斜边的中点，．当30°角三角板的直角顶点绕着点旋转时，直角边，分别与，相交于点，．在旋转过程中有以下结论：①；②四边形有可能为正方形；③长度的最小值为2；④四边形的面积保持不变：⑤面积的最大值为2，其中正确的个数是（       ）

A．2

B．3

C．4

D．5

3 . 如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．

4 . 如图，半径为1的经过平面直角坐标系的原点O，与x轴交于点A，点A的坐标为，点B是直角坐标系平面内一动点，且，则的最大值为（     ）

A．

B．

C．

D．

5 . 如图，在边长为4的正方形中，E、F分别是上的动点，M、N分别是的中点，则长的最大值是________．

   

6 . 如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接、，当时，的最大值为（       ）

A．2

B．

C．5

D．

8 . 如图，，已知，点P射线上一动点，以为直径作，点P运动时．若与线段有公共点，则最大值为___________________．

9 . 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的圆上，点Q是的中点，且长的最大值为1.5，则k的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在x轴上，边在y轴上，且B点坐标为．动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动（点M沿向终点A运动，点N沿向终点C运动），过点N作交于点P，连接．

(1)直接写出的长度；
(2)在运动过程中，请求出的面积S与运动时间t的函数关系式；
(3)在运动过程中，的面积S是否存在最大值？若存在，请求出当t为何值时有最大值，并求出最大值；若不存在，请说明理由．
(4)在运动过程中，以点A，P，M为顶点的三角形与能相似吗？若能相似，请求出运动时间t的值；若不能相似，请说明理由．