2 . 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分． 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点E，交于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）

   

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点O．
求证：．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∴     ①       ．
∵垂直平分，
∴       ②       ．
又___________③         ．
∴．
∴．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线        ④       ．

3 . 综合与实践
问题情境：数学课上，老师提出如下问题：如图，四边形是矩形，分别以，为边，在矩形外侧作正方形和（点，，在同一直线上，点，，在同一直线上）．连接，取的中点，连接．
求证：，．

   

解决问题：
(1)请你解答老师提出的问题．
数学思考：
(2)受到老师所提问题的启发，“兴趣小组”又提出了一个新问题：如图，若四边形是平行四边形，其余条件保持不变，则老师所提问题的结论是否保持不变？请你说明理由．

   

(3)“智慧小组”所提的问题是：如图，四边形是菱形，分别以，为边，在菱形外侧作正方形和．连接并延长，交于点．若，，求的长．请你思考该问题，并直接写出结果．

   

4 . 如图，在菱形中，对角线、相交于点O．

       

(1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点B作的垂线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：四边形为矩形．
证明：∵
∴ ①
∵四边形是菱形
∴，，
∴
∵
∴ ②
又∵
∴四边形为平行四边形
∴ ③
∴
∴ ④
∴
∴四边形为矩形．