1 . 如图1，在四边形中，，．将沿剪下来，以A为旋转中心逆时针旋转，旋转过程中，与所在直线的交点分别为．

(1)求证：；
(2)当旋转角为时，如图2所示，求重叠部分的面积；
(3)如图3所示，当点在边上时，若，直接写出的长．

2 . 综合与实践：折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．
定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．

(1)操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为24，，则此完美矩形的边长         ，面积为         ．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为         ．
(3)拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．

3 . 如图，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发沿边以的速度向点D匀速运动，同时动点Q从点C出发沿CB边以的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．

(1)当     时，四边形是矩形．
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？
(3)当时，直接写出的长为      ．

5 . 如果梯形的中位线长为4，其中一条底边长为2，一条腰长为6，那么另外一条腰长x的取值范围是________．

6 . 如图，四边形中，，，，，点、分别是对角线，边上的动点，且．若是的中点，是的中点，则的最小值是______．

7 . 如图，在梯形中，，点E是的中点，，设，，那么________．（用、表示）

8 . 如图，在等腰梯形中，，，于O，E、F分别是、的中点，梯形的面积为24，那么________．

9 . 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，．

   

(1)以点D为旋转中心，将旋转得到，画出；
(2)直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标．